4.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等差数列的性质及实际应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．了解等差数列的有关性质． 2．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 1．通过对数列有关性质的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．通过等差数列解决实际问题，达成数学建模的核心素养． [对应学生用书P10] 某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？ 解　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元． 所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n＝11， 此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).即需要支付车费23.2元． [变式1]　在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km，按1 km计费)，且一路畅通，等候时间为0，那么需支付多少车费？ 解　由题意知，当出租车行至18.5 km处时，n＝16，此时需支付车费a16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元).即需要支付车费29.2元． [变式2]　在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往n km(n∈N*)处的目的地，求其需支付的车费an. 解　当n∈{1，2，3}时，an＝10， 当n∈N*，且n≥4时，an＝11.2＋(n－4)×1.2＝1.2n＋6.4. 所以an＝ [方法总结] (1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． (2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． [训练1]　甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 甲 乙 请你根据提供的信息回答问题． (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． 解　由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn. (1)由a1＝1，a6＝2， 得∴得a2＝1.2； 由b1＝30，b6＝10， 得∴得b2＝26. ∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2， 即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只． (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了．理由如下：∵c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30， ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了． 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 解　法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d， 根据题意，得解得或 ∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2. 法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得 化简，得 解得或 ∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2. 法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得 化简，得解得 ∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2. [方法总结] (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列． (2)当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d． (3)当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d． [训练2]　已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数． 解　设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2D． 由已知有 整理得解得a＝1，d＝±. 当d＝时，这5个数分别是－，，1，，； 当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－. 综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－. [知能解读]　等差数列的性质 1．若{an}是公差为d的等差数列，正整数m