4.2.1 第1课时 等差数列的概念（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念 课程内容标准 学科素养凝练 1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列通项公式的意义． 通过对等差数列概念及其通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P7] 1．等差数列的概念 (1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． (2)递推公式：an＋1－an＝d(d为常数). 2．等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列． (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项． (3)满足的关系式是2A＝a＋b． 以首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n　　　　　　　　 B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 C　[an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.] 3．(教材练习2改编)x＋1与y－1的等差中项为10，则x＋y等于(　　) A．0 B．10 C．20 D．不确定 C　[因为x＋1与y－1的等差中项为10，所以(x＋1)＋(y－1)＝2×10，所以x＋y＝20.] 4．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是(　　) A．b－a B． C． D． C　[由等差数列的通项公式，得b＝a＋(4－1)d，所以d＝.] [对应学生用书P7] [知能解读]　对等差数列概念的解读 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 命题角度1　等差数列的判定 判断下列数列是否为等差数列． (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. 解　(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，∴数列{an}不是等差数列． 命题角度2　根据递推公式判定与证明等差数列 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.数列是否为等差数列？说明理由． 解　数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝， ∴＝＝＋，∴－＝， 即数列是首项为＝，公差为d＝的等差数列． [变式1]　将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．试证明数列{bn}为等差数列． 证明　bn＋1－bn＝－ ＝－ ＝－＝＝. 又b1＝＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． [变式2]　将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”试判断数列{an}是否是等差数列． 解　当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝1≠，故数列{an}不是等差数列． [方法总结]　用定义法判定等差数列的步骤 (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． [训练1]　判断下列数列是不是等差数列． (1)9，7，5，3，…，－2n＋11，…；(2)－1，11，23，35，…，12n－13，…；(3)1，2，1，2，…；(4)1，2，4，6，8，10，…；(5)a，a，a，a，a，…. 解　由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列． [训练2]　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列． 证明　∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝2(n∈N*)，且b1＝＝2， ∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列． 在－1与7之间顺次插入3个数a，b，c，使这5个数成等差数列，求