4.1 第2课时 数列通项公式、递推公式与前n项和公式及应用（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　数列通项公式、递推公式与前n项和公式及应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．了解数列的递推公式． 2．了解数列的前n项和概念及其简单应用． 1．通过对数列递推公式的学习，提升数学抽象的核心素养． 2．通过对数列前n项和的学习，达成数学抽象、逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P4] 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 1．数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．an与Sn的关系：an＝ 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．(　　) (2)有些数列可能不存在最大项．(　　) (3)递推公式是表示数列的一种方法．(　　) (4)所有的数列都有递推公式．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　 2．下列四个数中，哪个是数列{n(n＋1)}中的一项(　　) A．55　　　　B．56　　　　C．57　　　　D．58 B　[由n(n＋1)＝56，有n＝7或n＝－8(舍去).所以B正确；n(n＋1)＝55，n(n＋1)＝57，n(n＋1)＝58均无正整数解，则A、C、D都不正确．] 3．(教材练习2改编)已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是(　　) A．1 B． C． D． B　[由a1＝1，得a2＝a1＋＝1.依此类推，a4＝.] 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________． 　[当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1， a1＝2不满足上式．故an＝] [对应学生用书P4] 数列{an}的通项公式是an＝. (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 解　(1)若0是{an}中的第n项，则＝0， 因为n∈N*，所以n＝21.所以0是{an}中的第21项． 若1是{an}中的第n项，则＝1， 所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0. 因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，解得m＝10. 所以数列{an}中存在连续且相等的两项，即第10项与第11项． [变式1]　本例的条件不变，求a3＋a4和a2n的值． 解　a3＋a4＝＋＝－61， a2n＝＝2n2－21n. [变式2]　本例中，把“an＝”改为“an＝n2－3n”，解答(1)(2)两题． 解　(1)若0是{an}中的第n项，则n2－3n＝0，因为n∈N*，所以n＝3.故0是{an}中的第3项． 若1是{an}中的第n项，则n2－3n＝1，即n2－3n－1＝0.因为方程n2－3n－1＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1， 所以m2－3m＝(m＋1)2－3(m＋1).解得m＝1. 所以数列{an}中存在连续且相等的两项，即第1项与第2项． [方法总结] (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项，代入通项公式列出方程．若方程的解为正整数，则是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项． [知能解读]　数列递推公式与通项公式之间的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 命题角度1　根据数列的递推公式写出数列的项 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝(n≥1)构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． 解　(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (