4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的实际应用（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等比数列前n项和的实际应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握等差数列与等比数列的综合应用． 3．能用分组转化方法求数列的和． 1．在运用等比数列知识解决实际问题的过程中，达成数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养． 2．借助分组求和，培养学生的数学运算素养． [对应学生用书P26] 探究一　等比数列前n项和公式的函数特征应用 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}(　　) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列 B　[当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；当n＝1时，a1＝a－1，满足上式．∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴＝a，∴数列{an}是等比数列．] [方法总结] 1．已知Sn通过an＝求通项an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1. 2．若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列 [训练1]　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________． －　[显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.] 命题角度1　几何图形中的问题 把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去． (1)图③中共挖掉了________个正方形； (2)第n个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________． (1)73　(2)　1－　[设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝.故(1)图③中共挖掉了＝73个正方形；(2)第n个图形共挖掉了个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×＋8×＋82×＋…＋8n－1×＝＝1－.] [变式]　本例中若一直继续下去，则这些被挖掉的正方形面积之和趋近于多少？ 解　由本例解法，设被挖掉的正方形面积之和为Sn，则Sn＝1－，由于一直继续下去，即n无限增大时，无限趋近于0，此时被挖掉的正方形面积之和趋近于1. [方法总结]　解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数列模型，再利用等比数列的相关知识求解． [训练2]　如图，已知△ABC面积为4，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2 020个三角形面积为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． B　[观察图形可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的，设第n个三角形的面积为an，则数列{an}是首项为a1＝4，公比为的等比数列， ∴an＝4×＝，∴第2 020个三角形面积为a2 020＝＝.] 命题角度2　增长率问题 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2020年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2030年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？ 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：2030年年初将所有存款和利息全部取出． 第二步，精读题目挖已知条件：条件一，每年年初都存a元，年利率p保持不变；条件二，按复利计算． 第三步，建立联系寻解题思路：每年年初存入的a元的本利和组成等比数列，将问题变为求等比数列前n项和问题． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　设从2020年年初到2030年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10). 则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)，故数列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10为首项，q＝为公比的等比数列．所以2030年初这个家庭应取出的钱数为 S10＝＝[(1＋p)11－(1＋p)](元). [变式1]　若将题中的复利改为单利，结果是多少？ 解　a1＝a(1＋10p)，a2＝a(1＋9p)，a3＝a(1＋8p)，…，a10＝a(1＋p)， S10＝a(1＋10p)＋a(1＋9p)＋…＋a(1＋p)＝10a＋×ap＝10a＋55ap. [变式2]　若将复利改为单利并且按规定，存款利息要纳税20%，则结果为多少？ 解　要将复利改为单利由“变式1”知结果为10a＋55ap. 由存款利息按20%纳税，则最后结果为10a＋55ap×(1－20%)＝10a＋44ap. [方法总结]　解决等比数列应用题的关键 (1)认真审题抓特点，仔细观察找规律． (2)等