4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式及应用（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式及应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．探索并掌握等比数列的前n项和公式． 2．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 1．在推导等比数列前n项和公式的过程中达成逻辑推理、数学抽象的核心素养． 2．在运用等比数列的前n项和公式的过程中提升逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P23] 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 推导等比数列前n项和的方法 一般地，等比数列{an}的前n项和可写为： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，　① 用公比q乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，　② 由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn， 整理得Sn＝(q≠1). 我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{anbn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　　) (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝nA．(　　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　) (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．等比数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn为(　　) A．　　　　　　 B． C． D． C　[当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n.当x≠1时，q＝x，Sn＝＝.] 3．(教材练习改编)等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 A　[由S5＝＝44，得a1＝4.] 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________． 12　[设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝S， 则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝2S. ∵S100＝36， ∴3S＝36，∴S＝12， 即a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.] [对应学生用书P23] 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 解　(1)设等比数列{an}的公比为q， 由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝. (2)法一：设等比数列{an}的公比为q， 由题意知解得 从而S5＝＝. 法二：设等比数列{an}的公比为q， 由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，从而S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或 又Sn＝＝126，所以q为2或. [方法总结]　使用等比数列求和公式的注意事项 (1)一定不要忽略q＝1的情况； (2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q，可以用Sn＝； (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn，知道其中任意三个，可求其余两个． [训练1]　(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A．2n－1　　　　　　 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 B　[方法1：设等比数列{an}的公比为q， 则q＝＝＝2. 由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1. 所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝2n－1， 所以＝＝2－21－n. 方法2：设等比数列{an}的公比为q， 则 得＝q＝2. 将q＝2代入①，解得a3＝4. 所以a1＝＝1，下同方法1.] [训练2]　(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 C　[因为a1＝2，am＋n＝aman，所以a1＋n＝a1an，所以＝2，所以an＝2n，所以ak＋1＝2k＋1，ak＋2＝2k＋2，…，ak＋10＝2k＋10，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝2k＋11－2k＋1＝215－25，所以k＝4.] [训练3]　在等比数列{an