4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等比数列的性质及应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题． 1．在解决等比数列实际问题中达成数学建模和逻辑推理的核心素养． 2．在运用等比数列的性质解题的过程中提升数学运算的核心素养． [对应学生用书P21] 某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值． (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，a3＝10(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1. 所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1万元． (2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元). 所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元． [方法总结] [训练1]　(多选题)据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年(按365天计算)是每73天翻一番，则下列说法正确的是(　　) A．2006年底人类知识总量是2a B．2009年底人类知识总量是8a C．2019年底人类知识总量是213a D．2020年底人类知识总量是218a BCD　[2000年到2006年每三年翻一番，则总共翻了＝2番.2000年底，人类知识总量为a，则2006年底，人类知识总量为a·22＝4a，故A错误.2000年到2009年每三年翻一番，则总共翻了＝3番．则2009年底，人类知识总量为a·23＝8a，故B正确，2009年到2019年每一年翻一番，则总共翻了2019－2009＝10番，则2019年底，人类知识总量为8a·210＝213a，故C正确.2020年是每73天翻一番，则总共翻了＝5番，则2020年底，人类知识总量为213a·25＝218a，故D正确．] [知能解读]　等比数列的性质 1．通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*). 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a. (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 3．两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列． 4．等比、等差数列的两个性质： 已知b>0，且b≠1.(1)如果数列{an}是等差数列，那么数列{ban}是等比数列；(2)如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是等差数列． (1)在等比数列{an}中，an>0，若a3·a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________． 128　[a3a5＝a＝4，又an>0，所以a4＝2，a1a2a3a4a5a6a7＝(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4＝a·a·a·a4＝a＝27＝128.] (2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an＝________． －(－2)n－1　[在等比数列{an}中，由a4a7＝－512得a3a8＝－512，又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，因为公比q为整数，所以q＝＝－＝－2， 故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.] [变式1]　将本例(2)中等比数列满足的条件改为“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，求a1＋a10. 解　设等比数列{an}的公比为q，因为{an}是等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4， 当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－，a1＋a10＝＋a7q3＝－7； 当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝＋a7q3＝－7. 综上可知，a1＋a10＝－7. [变式2]　将本例(2)中题的条件不变，求log4|a2|＋lo