专题13 含参数的一元二次不等式-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

含参数的一元二次不等式 解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种： 1. 按二次项系数的符号分类，即； 2. 按判别式△的符号分类，即△＞0，△＝0，△＜0； 3. 按方程的根、的大小分类，即，，. 例1：讨论二次项系数 解不等式： 【解答】见解析 【解析】， 解方程得，， ∴当时，解集为； 当时，不等式，解集为； 当时，解集为. 例2：谈论根的判别式 解不等式： 【解答】见解析 【解析】， ∴当，即时，解集为R， 当时，即时，解集为； 当或，即时，此时两根分别为，， 此时，∴不等式的解集为. 例3：讨论方程解的大小 解关于的不等式： 【解答】见解析 【解析】原不等式可转化为，即， ， 当时，不等式化为， ∵，∴不等式的解集为； 当时，不等式化为，即，∴不等式的解集为； 当时，不等式化为， ∵，∴不等式的解集为. 综上，原不等式的解集为当时，；当时，；当时，. 例4：由解集求参数 已知关于的不等式的解集为，求实数的值. 【解答】 【解析】原不等式可化为， 由题意得，解得， ∴. 巩固练习 一．选择题 1．关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，函数的图像，如图所示， 若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则， 即，解得， 所以实数的取值范围是，， 故选：． 2．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集不可能是　　 A．或 B． C． D． 【解答】解：当，不等式的解集为或，故选项正确； 当时，不等式的解集为，故选项正确； 当时，不等式的解集为，故选项正确； 故选：． 3．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以1和3为方程的两个根， 所以，，， 则，等价于，即， 故不等式的解集为． 故选：． 4．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（　　） A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6 【解答】C 【解析】关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即 （a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a， [（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1， ∴不等式的解集为，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个． ∴﹣3≤﹣＜﹣2， ∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3， ∵b＜1+a， ∴2a﹣2＜1+a， ∴a＜3， 综上，1＜a＜3， 二．填空题 5．设关于x的不等式ax2+8（a+1）x+7a+16≥0，（a∈Z），只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为　 　． 【解答】﹣10 【解析】设y＝ax2+8（a+1）x+7a+16，其图象为抛物线． 对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y≥0而整数解只有有限个，所以a＜0． 因为0为其中的一个解可以求得a≥，又a∈Z，所以a＝﹣2，﹣1， 则不等式为﹣2x2﹣8x+2≥0和﹣x2+9≥0，可分别求得和﹣3≤x≤3， ∵x为整数，∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0和x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3 ∴全部不等式的整数解的和为﹣10 6．已知关于x的不等式ax2﹣ax+2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是　 　． 【解答】0≤a＜8 【解析】①若a＝0，则原不等式等价为2＞0，此时不等式恒成立，所以a＝0． ②若a≠0，则要使不等式ax2﹣ax+2＞0恒成立， 则有，即，所以，解得 0＜a＜8． 综上满足不等式ax2﹣ax+2＞0在R上恒成立的实数a的取值范围0≤a＜8． 7．不等式x2﹣ax+3＜0存在正整数解，则a的取值范围为 　． 【解答】 【解析】由题意知，x∈N*，由x2﹣ax+3＜0，可得， 构造函数，其中x∈N*，则a＞f（x）min， 由双勾函数的单调性可知，函数f（x）在x＝1或x＝2处取得最小值， 因为f（1）＝4，f（2）＝，所以，函数f（x）的最小值为，所以，. 8．已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：因为关于的一元二次不等式的解集为， 则一元二次不等式对于恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 9．已知，，关于的一元二次不等式的解集为，则　　． 【解答】解：不等式的解集为， 所以对应方程的解是1和2， 由根与系数的关系知，， 解得，， 所以． 故答案为：． 10．已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x1＝4．则关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解