专题12 一元二次不等式-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

一元二次不等式 1. 一元二次不等式的定义：形如（或）（其中）的不等式称为关于的一元二次不等式. 2. 一元二次不等式的解法： 方法一、（因式分解法）按照以下步骤处理 （1）化二次项系数为正数； （2）若二次三项式能分解成两个一次因式的积 ，则求出两根、，那么“”型的解集为或（两根之外），“”型的解集为（两根之间）； （3）对两次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解. 方法二、（图像法）结合对应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： （1）将二次项系数先化为正数； （2）观察相应的二次函数图像. ①如果图像与轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根、（也可以由根的判别式来判断）. 那么，如图1所示：； ②如果图像与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根（也可以由根的判别式来判断）. 那么，如图2所示：； ③如果图像与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根，（也可以由根的判别式来判断）. 那么，如图3所示：. 例1：通过因式分解法解一元二次不等式 解不等式： 【解答】 【解析】原不等式可化为， 于是或， ∴或， ∴或， ∴原不等式的解集为. 例2：通过图像法解一元二次不等式 利用二次函数的图像，解一元二次不等式和. 【解答】，. 【解析】先作出二次函数的图像，如图所示： 根据图像可以得到抛物线与轴的交点是， 当时，，对应图像位于轴的上方，即的解集为， 当时，，对应图像位于轴的下方，即的解集为. 巩固练习 1．一元二次不等式x2+2x+1＞0的解集是（　　） A．x≠1 B．﹣1＜x＜1 C．﹣1＜x＜0 D．x≠﹣1 2．一元二次不等式kx2+2（2k+1）x+9＞0对一切实数x恒成立，则k的取值范围是（　　） A．（0，1） B． C． D．（0，+∞） 3．关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（　　） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是 　 　． 5. 满足不等式的的取值范围是 . 6. 若，则 . 7. 解下列不等式 （1） （2） 8．求下列一元二次不等式的解集． （1）5x2﹣x﹣6＞0； （2）﹣x2+3x+10≥0； （3）2x2﹣5x﹣3＜0； （4）2x﹣x2+3＜0； （5） 9．如图所示，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，且A（﹣1，0）． （1）一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的解是 　 　； （2）一元二次不等式ax2﹣2ax+c＞0的解集是 　 　； （3）若抛物线的顶点在直线y＝2x上，则此抛物线的解析式是 　 　． 10．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0． 解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），∴x2﹣4＞0可化为（x+2）（x﹣2）＞0． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①，② 解不等式组①，得x＞2，解不等式组②，得x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2， 即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x2﹣25＞0的解集为 　 　； （2）求使代数式有意义的x的取值范围； （3）试解不等式0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次不等式 1. 一元二次不等式的定义：形如（或）（其中）的不等式称为关于的一元二次不等式. 2. 一元二次不等式的解法： 方法一、（因式分解法）按照以下步骤处理 （1）化二次项系数为正数； （2）若二次三项式能分解成两个一次因式的积 ，则求出两根、，那么“”型的解集为或（两根之外），“”型的解集为（两根之间）； （3）对两次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解. 方法二、（图像法）结合对应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： （1）将二次项系数先化为正数； （2）观察相应的二次函数图像. ①如果图像与轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根、（也可以由根的判别式来判断）. 那么，如图1所示：； ②如果图像与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根（也可以由根的判别式来判断）. 那么，如图2所示：； ③如果图像与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根，（也可以由根的判别式来判断）. 那么，如图3所示：. 例1：通过因式分解法解一元二次不等式 解不等式： 【解答】 【解析】原不等式可化为， 于是或， ∴或， ∴或， ∴原不等式的解集为. 例2：通过图像法