1.1 直线的斜率与倾斜角-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

1.1直线的斜率与倾斜角 【知识点梳理】 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角. 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1.要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角. 2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角. 3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合. 4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应. 5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置. 知识点二：直线的斜率 1．定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： (1)当直线与x轴平行或重合时，，； (2)直线与x轴垂直时，，k不存在. 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 2．直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式. 知识点诠释： 1.对于上面的斜率公式要注意下面五点： (1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； (2)与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； (3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； (4)当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： (1)由、点的坐标求的值； (2)已知及中的三个量可求第四个量； (3)证明三点共线. 【题型归纳目录】 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 【典型例题】 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 例1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是(       ) A．一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 B．直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角 C．和轴平行的直线，它的倾斜角为 D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直线倾斜角和斜率的概念逐项判断即可﹒ 【详解】 直线倾斜角的范围是[0，π)，当倾斜角是时直线无斜率，故A错误； 直线倾斜角的范围是[0，π)，0和既不是锐角也不是钝角，故B错误； 和轴平行的直线，它的倾斜角为0，故C错误； 每一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，故D正确． 故选：D﹒ 例2．（多选题）（2022·江苏·高二）下列四个命题中，错误的有（       ） A．若直线的倾斜角为，则 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据倾斜角与斜率的定义判断即可. 【详解】 解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以， 当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确； 对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误； 故选：ACD 例3．（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号） ①若直线的倾斜角为，则； ②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大； ③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】 根据直线的倾斜角和斜率的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为，则，所以①错误； 对于②中，当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，且； 当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，但，所以②错误； 对于③中，根据直线斜率的概念，可得当且时，直线的斜率为，所以③错误. 故答案为：①②③. 例4．（2022·全国·高二课时练习）当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】 根据直线的倾斜角的定义可得答案. 【详解】 当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为 故答案为： 【技巧总结】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②轴的正方