第03讲 三角形内角和与外角和-【暑假新课预习】2022年八年级数学暑假预习课（人教版）

第03讲 三角形内角和与外角和 【学习目标】 1、了解三角形的内角和的验证及证明过程； 2、熟练利用三角形的内角和及直角三角形两锐角的关系解决问题； 3、理解三角形的外角的概念． 4、了解三角形外角的性质的推理过程； 5、能综合利用三角形的内外角和定理及外角的性质解决问题. 【基础知识】 知识点01 三角形内角和定理 1、三角形的内角和定理 (1)内容:三角形三个内角的和等于 . (2)应用格式:在△ABC中,∠A+∠B+∠C= . 2、三角形内角和定理的证明： （1）拼接法 【注意】 由三角形的内角和为180°,可推出三角形中角的许多特定关系: (1)一个三角形中最多只有 个钝角或直角﹔ (2)一个三角形中最少有 个角不小于60°; (3)等边三角形中每个角都是 等. 知识点02 直角三角形的性质与判定 1、直角三角形的组成 2、直角三角形的性质与判定 (1)表示:直角三角形可以用符号“ ”表示. 【注意】直角三角形可以用符号“Rt”表示,如直角三角形ABC可以写成 . (2)性质与判定: 文字叙述 几何语言 图形 性质 直角三角形两锐角 在Rt△ABC中， 判定 有两个角 的三角形是直角三角形 如果， 则△ABC是 知识点03 三角形的外角 1、三角形的外角 概念:三角形的一边与另一边的 组成的角. 【注意】 （1）三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角,这是内、外角联系的纽带. （2）一个三角形有6个外角,其中同一顶点处的两个外角互为对顶角，如图所示. 2、三角形外角的性质 （1）定义：三角形的外角等于与它 的和. （2）数学语言表达： 【注意】 灵活应用外角性质变式:∠B=∠1－∠C或∠C=∠1－∠B. 3、三角形外角和 （1）规定:在每一个顶点上取一个外角,如图所示,取∠1, ∠2, ∠3. （2）三角形外角和定理:三角形的外角和等于 . 【考点剖析】 考点一：对顶角、邻补角的识别 例1． (1)在△ABC中,∠A=70°, ∠C=45°,则∠B= ； (2)已知在△ABC中, ∠A=40°, ∠B－∠C=40°,则∠B= ；∠C= ； 考点二：直角三角形的性质与判定 例2．如图,AB,CD相交于点O,AC⊥CD于点C,若∠BOD=38°,则∠A= 例4．在△ABC中, ∠B=2∠A, ∠C=3∠A,试判断△ABC的形状,并说明理由. 考点三：三角形的外角 例4． 如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,求∠1＋∠2的度数. 【总结】 (1)求度数:在外角及与其不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出与外角相邻内角的度数; (2)证明角相等:一般是把外角作为桥梁,通过等量代换证明角相等; (3)判断角的大小:外角大于与它不相邻的任意一个内角. 考点四：三角形内角和定理的应用 例5．在△ABC中,∠A : ∠B:∠C=2∶3∶5,求三角形各内角的度数. 【总结】 (1)根据三角形内角和定理建立方程模型,可用代数知识解决几何问题; (2)三角形内角和等于180°是隐含的条件,可以直接应用. 考点五：利用三角形外角性质求角 例6 计算下列角度： (1)如图,P为AABC中BC边的延长线上一点，∠A=50°, ∠B=70°,则∠ACP= (2)如图所示,已知∠ABE=142°, ∠C=72°,则∠A= , ∠ABC= ; (3)如图, ∠3=120°,则∠1－∠2= 【总结】 (1)内外角结合:三角形的内外角可相互转化; (2)邻补角结合:外角和相邻的内角和为180°; (3)对顶角结合:两对顶角相等,但位置不同,可转化外角位置. 考点六：直角三角形的性质与判定的运用 例7．如图在△ABC中，∠ACB=90°, ∠ACD=∠B,判断△ADC的形状. 考点七：题型四三角形内角与外角的平分线的应用 例8．如图,在△ABC 中,∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线相交于点D, ∠A=50°,求∠D的度数. 【总结】 考点八：三角形与平行线的综合应用 例9． 如图,已知DE// BC,CD是∠ACB的平分线,∠B=70°,∠A=60°,求∠EDC的度数. 考点九：与三角形的角有关的规律探索型问题 例10．如图①,在△ABC中,CD,BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线,且∠A= . (1)用含的式子表示∠CDB; (2)若把图①中∠ACB的平分线CD改为△ABC的外角∠ACE的平分线,如图②,怎样用