第02讲 三角形的高线、中线和角平分线-【暑假新课预习】2022年八年级数学暑假预习课（人教版）

第02讲 三角形的高线、中线和角平分线 【学习目标】 1.掌握三角形中三条重要的线段的概念; 2.了解三角形的稳定性在日常生活中的应用. 【基础知识】 知识点01 三角形的高线 1、三角形的高线定义： 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线, 之间的线段叫做三角形的高线； 文字叙述 线段AD是△ABC的边BC上的高 AD⊥BC,垂足为D 点D在BC上,且∠ADB=∠ADC=90° 2、三角形高的画法： 过顶点向对边或对边的 作垂线段即可. 三角形 作高图形 高线位置 高线（高线延长线）交点O的位置 锐角三角形 三条高线在三角形 在三角形 直角三角形 有两条高线与 重合，有一条高线在三角形 在三角形 钝角三角形 由两条高线在三角形 ，有一条高线在三角形 在三角形 【注意】 （1）三角形的高线是 ； （2）作钝角三角形中钝角所在两边上的高,要先把这两条边 再作高,如图所示. （3）直角三角形的两直角边为a和b，斜边为c，则斜边上的高为 ； 知识点02 三角形的中线 1、三角形的中线定义： 三角形中,连接一个顶点和它对边 的线段，叫做三角形的中线； 2、三角形中线的描述： 图形 文字叙述 线段AD是BC边上的中线 D是BC边的中点 BD=CD=BC 3、三角形的重心 （1）三角形的三条中线交于三角形内部一点,这个点叫做三角形的 . （2）三角形具有 . 4、三角形中线的性质： 三角形的一条中线，平分三角形的 ； 如图，AF⊥BC于点F， 所以 知识点03 三角形的角平分线 1、定义： 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的 之间的线段叫做三角形的角平分线； 图形 文字叙述 线段AD是△ABC的角平分线 ∠1=∠2=∠BAC,且点D在BC上 AD平分∠BAC,交BC于点D 【注意】 三角形的角平分线的特征： （1）三角形的角平分线把三角形的一个内角分成两个相等的角，一般和三角形角的计算相关联; （2）任何三角形都有三条角平分线,这三条角平分线相交于一点,这个点在三角形 . 知识点04 三角形的稳定性 三角形的稳定性 四边形的不稳定性 将3根木条用钉子钉成三角形后，三角形木架的形状不会改变,说明三角形具有 用4根木条用钉子钉成四边形后,四边形木架的形状会改变,说明四边形具有 三角形稳定性的应用 四边形不稳定性的应用 【考点剖析】 考点一：三角形的高线 例1．过△ABC的顶点A,作 BC边上的高,以下作法正确的是（ ） 【总结】 判断高线方法： 一看顶点:三角形的高一定过顶点; 二看垂足:三角形的高的垂足在顶点的对边或对边延长线上.只要满足这两个原则,就能判断某条线段是否为三角形的高. 考点二：三角形的中线 例2．如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AD的中点,AABC的面积是4 cm2,则△BEC的面积是( ) A.2.5 cm2 B.2 cm2 C.1.5 cm2 D. 1 cm2 考点三：三角形的角平分线 例3．下列说法正确的是（ ） ①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线; ②三角形的中线、角平分线都是线段,而高是直线; ③每个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线; ④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线. A.③④ B.③ C.②③ D.①④ 考点四：三角形的稳定性 例4．以下不是利用三角形稳定性的是（ ） A、在门框上斜钉一根木条 B、高架桥的三角形结构 C、伸缩衣挂 D、屋顶的三角形钢架 【总结】 三角形的稳定性的实质是三角形的各边的长度被确定后,其形状不会再发生改变.现实生活中常常利用这一性质,将原本不稳定的形状转化为三角形,使之稳定. 考点五：三角形高线的计算 例5．如图,在△ABC中,AB=AC=10，BC=12,AD,BE分别是边BC,AC上的高﹐且AD=8,求BE的长. 考点六：三角形的高线 例6． 如图所示,CD是△ABC的中线，AC= 9 cm，BC= 3 cm，求△ACD和BCD的周长差. 【总结】 中线应用 (1)根据中线平分对边得两条相等的线段，一般用于求解与三角步的周长有关的问题; (2)根据中线分三角形得面积相等的两部分,用于求解与面积有关的问题. 考点七：三角形的高线 例7． 【例3】如图,∠1=∠2=∠3=∠4.