专题1.7 充分条件与必要条件-重难点题型精讲-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.7 充分条件与必要条件-重难点题型精讲 1．命题及相关概念 2．充分条件与必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 3. 充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 温馨提示：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【方法点拨】 (1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q、q⇒p和p⇔q是否成立，最后得出结论． (2)命题判断法： ①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． ②若p⇔q，则p是q的充要条件． ③若p⇒q，且qp，则称p是q的充分不必要条件． ④若pq，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． ⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 【例1】（2022•呼和浩特一模）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，则x∈A是x∈B的（　　） A．充分不要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分他不要条件 【解题思路】分别化简集合A＝[0，+∞），B＝（2，+∞），即可判断出． 【解答过程】解：由集合A＝{x|x≥0}， 集合B：x﹣2＞0，解得x＞2，即B＝（2，+∞）． 因此“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式1-1】（2022春•温州期中）设x，y都是实数，则“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【解题思路】利用或和且的含义，再结合充要条件的定义判定即可． 【解答过程】解：①当x＞2且y＞3时，则x＞2或y＞3，∴充分性成立， ②∵x＞2或y＞3⇔x＞2或y＞3或x＞2且y＞3，∴必要性不成立， ∴x＞2且y＞3是x＞2或y＞3的充分不必要条件， 故选：A． 【变式1-2】（2022•西宁一模）设m∈R，则“m＜0”是“m＜1”的（　　） A．充分必要条件 B．即不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【解题思路】“m＜0”⇒“m＜1”，反之不成立，取m．即可判断出． 【解答过程】解：“m＜0”⇒“m＜1”，反之不成立，取m． 因此“m＜0”是“m＜1”的充分不必要条件． 故选：C． 【变式1-3】（2022•柯桥区模拟）设x∈R，则“x＞2”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】先将结论等价化简，再根据充分与必要条件的概念即可求解． 【解答过程】解：∵“”等价于：，即，即x（x﹣2）＞0，即x＜0或x＞2， ∴“x＞2”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 【题型2 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【方法点拨】 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 【例2】（2022春•射洪市校级期中）已知p：0＜x＜2，那么p的一个充分不必要条件是（　　） A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3 【解题思路】利用子集和充要条件的关系判定即可． 【解答过程】解：∵（0，1）⫋（0，2）， ∵p的一个充分不必要条件是0＜x＜1， 故选：C． 【变式2-1】（2021秋•南宁期末）已知p：0＜x＜1，那么p的一个充分不必要条件是（　　） A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C． D． 【解题思路】由（，）⫋（0，1），再结合充要条件的定义判定即可． 【解答过程】解：∵（，）⫋（0，1）， ∴p的一个充分不必要条件是x， 故选：C． 【变式2-2】（2022•全国一模）已知a，b∈R，则“ab≠0”的一个必要条件是（　　） A．a+b≠0 B．a2+b2≠0 C．a3+b3≠0 D． 【解题思路】取特殊值判断ACD，根据充分必要条件的定义判断B． 【解答过程】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，推不出a+b≠0，故A错误， 对于B，由“ab≠0”得：a≠0且b≠0，故a2+b2≠0， 反之，若a2+b2≠0，推不出ab≠0，比如a＝1，b＝0