专题10 可化为一元二次方程的分式方程-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

可化为一元二次方程的分式方程 1. 分式方程的一般解法 分式方程一般解法的关键是如何将分式方程转化为分式方程，而转化为整式方程的关键是找出方程中的最简公分母. 例：解方程 【解答】 【解析】方程两边同乘，去分母得， 整理得， 解方程，解得. 检验：将分别代入进行检验，发现是增根， ∴原方程的解是. PS：验根的基本方法是代入原方程进行检验，而分式方程产生增根就是使分式方程的分母为零的根，因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分成方程两边同乘的各分式的最简公分母为零，若为零，即为增根；若不为零，即为原方程的解. 2. 换元法解分式方程 例：解方程 【解答】， 【解析】令，则原方程可化为， 方程两边都乘得，解得， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得， 经检验，均为分式方程的解， ∴原方程组的解为，. 3. 分式方程的实际应用 例：农场开挖一条长960m的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？ 【解答】60m 【解析】设原计划每天挖，那么实际每天挖. 则， 去分母，整理得， 经检验，都是原方程的根，但是负数根不符合题意，舍去，∴. 答：原计划每天挖60m. 巩固练习 1．把分式方程转化为一元二次方程时，方程两边需同乘以（　　） A．3x（x+2） B．3x（x﹣2） C．3（x2﹣4） D．x2﹣4 【解答】解：把分式方程转化为一元二次方程时，方程两边需同乘以（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4， 故选：D． 2．已知分式方程，于是原方程变形为整式方程是（ ） A、 B、 C、 D、 【解答】A 【解析】将代入中得， 整理得，∴A选项正确. 3．用换元法解方程，若设，则原方程可化为（ ） A、 B、 C、 D、 【解答】B 【解析】将代入中得， 整理得，∴B选项正确. 4．方程的解为（ ） A、1，2， B、0，1， C、1，2， D、0，1， 【解答】B 【解析】令，则原方程可化为， 整理得，，解得， 当时，，即解得； 当时，，即，解得. 经检验，均为原方程的解， ∴原方程的解为. 5．某农场开挖一条长480m的渠道，开工后，每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成任务，若原计划每天多挖，那么求时所列方程正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 【解答】A 【解析】设原计划每天挖米，则原计划用时，实际用时， 由题意可得，∴A选项正确. 6．若关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围为（　　） A．且m≠0 B． C．且m≠0 D． 【解答】解：分式方程去分母得：（x﹣3m）（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝3m（x﹣2）， 整理得：x2+2x﹣3mx﹣6m﹣x2+4＝3mx﹣6m， 移项合并得：（2﹣6m）x＝﹣4， 解得：x， ∵分式方程的解为负数， ∴0且2， 解得：m且m≠0． 故选：A． 7．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．﹣3或 B．或 C．﹣3或或 D．﹣3或 【解答】解：当（x+3）（x﹣3）＝0时，x1＝3或x2＝﹣3， 原分式方程可化为：1， 去分母，得x（x+3）＝（x+3）（x﹣3）﹣（mx﹣2）， 整理得（3+m）x＝﹣7， ∵分式方程无解， ∴3+m＝0， ∴m＝﹣3， 把x1＝3或x2＝﹣3，分别代入（3+m）x＝﹣7， 得m或m， 综上所述：m的值为m或m或m＝﹣3， 故选：C． 8．有六张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为　　． 【解答】解：方程两边同乘以1﹣x， 1﹣mx﹣（1﹣x）＝﹣（m2﹣1）， ∴xm+1， ∵有正整数解， 当m＝0时，原分式方程无解， ∴m+1＞1， ∴使关于x的分式方程有正整数解的有：2，3，4， ∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为：． 故答案为：． 9. 为何值时，方程会产生增根？ 【解答】 【解析】方程两边同乘得， 整理得， ∵方程有增根，∴，∴， ∴， 综上，当时，方程会产生增根. 10. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解答】见解析 【解析】（1）原方程两边同乘得， 整理得，即，解得