专题09 二元二次方程组-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

二元二次方程组 1. 二元二次方程的定义：含有两个未知数且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程. 2. 二元二次方程组的定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组或由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组. 3. 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法： （1）代入法 ①把二元二次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值； ④将所解得未知数的值代入二元一次方程，求另一个未知数的值（若代入的是二元二次方程，会出现“增解”问题）； ⑤将解得两个未知数的值组在一起就是原方程组的解. 例：解方程组 【解答】 【解析】由①得③，将③代入②得，，解得， 将代入③，得，将，得， 所以原方程组的解是. （2）逆用根与系数的关系 对于形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，将、看作一元二次方程的两个根，求得的和的值，就是、的值，当时，；当时，，所以原方程组的解是两组“对称解”. 例：解方程组 【解答】 【解析】这个方程组中的、恰好是的两个根， 解得，∴原方程组的解为. 4. 两个二元二次方程组成的方程组的解法 （1）当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成新的两个方程组，解新的方程组所得的解就是原方程组的解. 例：解方程组 【解答】 【解析】由①得，， ∴或，原方程组可化为以下两个方程组， 或， （2）当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到4个二元一次方程组，解这4个二元一次方程组所得的解都是原方程组的解. 例：解方程组 【解答】 【解析】得， ，或， 得， ，或， ∵原方程组可化为， 解这4个方程组，得原方程组的解是 PS：对称性方程组或都可以通过变形转化为的形式，通过构造一元二次方程求解. 5. 其他解法 （1）加减法、代入法解二元二次方程组 例：解方程组 【解答】 【解析】得，即， ∴，∴或， ∴原方程组可化为两个方程组， 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是. （2）换元法解二元二次方程组 例： 【解答】 【解析】原方程组可化为， 令，则原方程组可化为， 解得， 代入得原方程组的解为. 巩固练习 一．选择题 1．二元二次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】C 【解析】依题意得x＝3﹣y ∴xy＝（3﹣y）y＝﹣10 ﹣y2+3y+10＝0 y2﹣3y﹣10＝0 （y﹣5）（y+2）＝0 y1＝5，y2＝﹣2 ∴方程的解为： 2．下列方程组中，为二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵中各方程都是二元一次方程， ∴A不合题意． ∵中每一个方程都是分式方程，不符合二元二次方程组定义， ∴B不合题意． ∵中有无理方程，不符合二元二次方程组定义． ∴C不合题意， ∵是含有两个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程，符合二元二次方程的定义， ∴D符合题意． 故选：D． 3．关于x，y的二元二次方程组有且只有一组实数解，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】C 【解析】将两式相减，可得 x2﹣2x＝2﹣m， 整理得x2﹣2x+m﹣2＝0， 由题可得（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝0， 解得m＝3． 4．二元二次方程组的解共有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：， 由①，得（x﹣2y）2＝1， 即x﹣2y＝±1， 由②，得x＝0或y＝0④， 由③和④组成四个二元一次方程：，，，， 解得：，，，， 所以方程组的解有4个， 故选：A． 二．填空题 5．已知，是某个二元二次方程组的解，那么这个方程组可以是 　．　．（只要写出一种情况） 【解答】解：满足解是，的二元二次方程组可以是． 故答案为：． 6．方程组是关于x、y的二元二次方程组，则m、n的取值范围是 　． 【解答】m，n不能同时为0 【解析】当m≠0、n≠0时，方程组是关于x、y的二元二次方程组， 当m＝0、n≠0时，方程组是关于x、y的二元二次方程组， 当m≠0、n＝0时，方程组是关于x、y的二元二次方程组， 故答案为：m，n不能同时为0． 7．若二元二次方程组有两组不相等的实数解；则k的取值范围　k　． 【解答】解：， 由②得：x＝y+k③， 把③代入①得：y2﹣4（y+k）+1＝0， y2﹣4y﹣4k+1＝0， ∵方程组有两组不相等的实数解， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（﹣4k+1）×1＝16k+12＞0， 解得：k