专题08 一元二次方程-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

一元二次方程 1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的一般式：. 3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4. 一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，即. （1）当时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当时，一元二次方程没有实数根. 5. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程的实数根分别为、，则，. 证明：若一元二次方程有两个实数根， ， 则， . 一元二次方程的根的判别式都成立，主要应用有以下几个： （1）不需要解方程就可以判定方程根的情况； （2）根据系参数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题； （4）已知方程的一个根，不需要解方程求另一个根与参数系数； （5）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； （6）已知方程两个根，求以方程两根或其代数式为根的一元二次方程. 例1：根的判别式的应用 （1） （2） 【解答】（1）两个不相等的实数根；（2）两个实数根. 【解析】（1）在中，， ， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）方程是一元二次方程，常数项为0， 无论取任何实数，均为非负数， ，故方程有两个实数根. 例2：根的判别式的逆运用 关于的一元二次方程. （1）k为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）k为何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）k为何值时，方程没有实数根？ 【解答】见解析 【解析】. （1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得； （2）∵方程有两个相等的实数根， ，即，解得； （3）∵方程没有实数根， ，即，解得. 例3：通过根的判别式推理论证 求证：关于的方程没有实数根. 【解答】见解析 【解析】 ∵不论m取任何实数，，∴，即， 巩固练习 一．选择题 1． 已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5 【解答】B 【解析】∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1， ∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1， 解得：x＝﹣1或3， 即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3. 2． 已知一元二次方程的两根都满足，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】C 【解析】设， 则， 解得. 3． 若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（　　） A．10 B．84 C．100 D．121 【解答】C 【解析】M＝（7﹣x）（3﹣x）（2+x）（2﹣x） ＝[（7﹣x）（2+x）]•[（3﹣x）（2﹣x）] ＝（﹣x2+5x+14）（x2﹣5x+6） ＝﹣（x2﹣5x）2+8（x2﹣5x）+84 ＝﹣[（x2﹣5x）﹣4]2+100， ∵﹣1＜0， ∴M的最大值为100． 4． 已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（　　） A． B． C． D． 【解答】C 【解析】∵x2﹣xy+4y2＝4， ∴x2+4y2＝xy+4， ∴u＝x2+xy+4y2＝2xy+4， ∵5xy＝4xy+（x2+4y2﹣4）＝（x+2y）2﹣4≥﹣4，当且仅当x＝﹣2y， 即，或时等号成立． ∴xy的最小值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最小值为，即． ∵3xy＝4xy﹣（x2+4y2﹣4）＝4﹣（x﹣2y）2≤4，当且仅当x＝2y， 即或时等号成立． ∴xy的最大值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最大值为，即． ． 或由x2﹣xy+4y2＝4，得x2+4y2＝xy+4，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4． 设xy＝t，若x＝0，则μ＝4；x≠0时，，将代入x2﹣xy+4y2＝4， 得，即x4﹣（t+4）x2+4t2＝0，…① 由△＝（t+4）2﹣16t2≥0，解得． 将代入方程①，解得代入方程①，解得，． ∴xy的最大值为，最小值为． 因此，. 二．填空题 5．已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一个根，求a2﹣2012a的值为　2012　． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2013x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2013a+1＝0， ∴a2＝2013a﹣1， ∴原式＝2013a﹣1﹣2012aa1 1 1 ＝2013﹣1 ＝2012． 故答案为：201