第07讲 函数的定义域与值域-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第07讲 函数的定义域与值域 【基础知识全通关】 1.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 2.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 3.函数解析式的常见求法 (1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换． (2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可． (3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围． (4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 3.分段函数 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。 【考点研习一点通】 考点01函数的定义域 1．函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为(　　) A．(0,4) B．[0,2)∪(2,4] C．(0,2)∪(2,4) D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 【答案】　C 【解析】　要使函数有意义， 则 解得0<x<4且x≠2. 2．函数y＝的定义域为(　　) A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3] C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3] 【答案】　B 【解析】　要使函数有意义，x需满足 解得－1<x<0或0<x≤3， 所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]． 3．若函数f(x)的定义域为[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为________． 【答案】　[0,3) 【解析】　依题意有 解得0≤x<3， ∴g(x)的定义域为[0,3)． 思维升华 (1)根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． (2)求抽象函数的定义域的策略 ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． (3)求函数定义域应注意的问题 ①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化； ②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 4.函数的定义域是_____. 【答案】. 【解析】 由已知得, 即 解得， 故函数的定义域为. 5.（1）已知的定义域为，求函数的定义域； （2）已知的定义域为，求的定义域； （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 利用抽象函数的定义域求解. 【详解】 （1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同． ∴， ∴， 即的定义域为． （2）由题意知中的， ∴. 又中的取值范围与中的x的取值范围相同， ∴的定义域为． （3）∵函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 又，即， ∴函数的定义域为. 【规律方法】 1.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈