1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（自主学习双减增效）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2022年高一升高二数学暑假进阶学习方案（人教A版2019）

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（自主预习） 目录 第一部分：脉络导图（总览全局） 第二部分：知识点精准记忆 第三部分：典 型 例 题 剖 析 题型一：利用空间向量求点线距 题型二：利用空间向量求点面距 题型三：利用向量方法求两异面直线所成角 题型四：利用向量方法求直线与平面所成角 题型五：利用向量方法求两个平面的夹角 第四部分：自主预习成果检测 第一部分：脉 络 导 图 总 览 全 局 课标要求： 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.(直观想象、数学运算) 2.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角.(数学运算) 3.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角.(数学运算) 4.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.(数学运算) 第二部分：知 识 点 精 准 记 忆 1、用向量方法求空间距离 1.1求点面距的一般步骤：（求点到平面的距离） ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③点M到面的距离（如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影. 由 得距离公式： 1.2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解. 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. 2用向量方法求空间角 2.1求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则①②. 2.2求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有①②. 2.3求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 第三部分：典 型 例 题 剖 析 题型一：利用空间向量求点线距 1．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（       ） A． B． C． D． 2．已知动直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l的距离为（       ） A．5 B．14 C． D． 3．如图，在正三棱柱中，若，，则点到直线的距离为___________. 4．如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为________． 题型二：利用空间向量求点面距 1．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（       ） A． B． C． D．1 2．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（       ） A． B． C． D． 3．在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是（　　） A． B． C． D． 4．已知点，平面a经过原点O，且垂直于向量，则点A到平面a的距离为______. 5．在长方体中，，则点到平面的距离为________． 6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，M是PD上一点，且. (1)求异面直线PB与CM所成角余弦的大小； (2)求点M到平面PAC的距离. 题型三：利用向量方法求两异面直线所成角 1．如图，在四棱锥中，，底面ABCD为长方形，，，Q为PC上一点，且，则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 2．如图，在长方体中，，，则直线和夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．在正方体中，棱的中点分别为，则直线与所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 4．如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1，CC1的中点，则异面直线A1E与BF所成角的余弦值为___________. 6．在直三棱柱中，若 ，则异面直线与所成的角等于_________. 题型四：利用向量方法求直线与平面所成角 1．已知在直三棱柱中，，，，则与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 2．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（       ） A．60° B．90° C．45° D．以上都不对 3．在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，