专题06 十字相乘法-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类： 1. 二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法 对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解. 对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数. 技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号； 技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）. 2. 二次项系数不为1的十字相乘 在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列： 按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即. PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号. 例1：二次项系数为1的二次三项式 分解因式： （1） （2） （3） （4） 【解答】见解析 【解析】（1）； （2）； （3）； （4） 例2：二次项系数不为1的二次三项式 分解因式： （1） （2） 【解答】见解析 【解析】（1）； （2）. 例3：待定系数法求字母的值 若能分解成两个一次因式的积，则的值为 （ ） A. 1 B. C. D. 2 【解答】C 【解析】，可分解成或，分以下两种情况考虑： 由①可得m＝1，由②可得，故选C. 例4：解决几何类问题 已知长方形的长、宽分别为x、y，周长为16，且满足，求此长方形的面积. 【解答】15或15.75 【解析】 又 解得， ∴长方形的面积为15或15.75. 例5：十字相乘法综合 求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数. 【解答】见解析 【解析】证明：∵是7的倍数，设（m为整数），则， ∵x、m是整数，∴也是整数，∴是49的倍数. 巩固练习 一．选择题 1．把多项式x2+x﹣2分解因式，下列结果正确的是（　　） A．（x+2）（x﹣1） B．（x﹣2）（x+1） C．（x﹣1）2 D．（2x﹣1）（x+2） 2．下列因式分解正确的是（　　） A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1） B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b） C．x2﹣7x﹣10＝（x﹣2）（x﹣5） D．10x2y﹣5xy2＝5xy（2x﹣y） 3．下列多项式不能分解的是（　　） A．（ab+cd）2+（bc﹣ad）2 B．x2﹣y2﹣6x+9 C．x2﹣2xy﹣3y2+4x+8y﹣5 D．x2+2x+4 4．把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（　　） A．（x﹣y+4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2） C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2） 5．多项式x2﹣3x+a可分解为（x﹣5）（x+2），则a的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣2 6．若x2﹣4x+b＝（x﹣2）（x﹣a），则a﹣b的值是（　　） A．﹣2 B．﹣6 C．6 D．2 二．填空题 7．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q＝（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是　 　． 8．分解因式：x2﹣3xy﹣4y2＝　 　． 9．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m﹣n的值为　 　． 10．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为　 　． 11．两位同学将同一个二次三项式进行因式分解时，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），则原多项式因式分解的正确结果是：　 　． 12．阅读下列文字与例题：将一个型如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）． 例如（1）x2+3x+2＝（x+1）（x+2） （2）x2﹣3x﹣10＝（x﹣5）（x+2）． 要使二次三项式x2+mx﹣6能在整数范围内分解因式，则m可取的整数为　 　． 13．在有理数范围内分解因式：（x+1）（x+2）（2x+3）（x+6）﹣20x4＝　 　． 三．解答题 14．分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行． x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189 ＝（x+6）2