专题05 和（差）的立方公式、立方和（差）公式-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

和（差）的立方公式、立方和（差）公式 1. 完全立方和公式： 证明： 变形1：； 变形2：. 2. 完全立方差公式： 证明： 变形1： 完全立方公式的推广： 3. 立方和公式： 证明： 4. 立方差公式： 例1：分解因式 （1） （2） （3） （4） 【解答】见解析 【解析】 例2：利用公式计算 计算： 【解答】 【解析】 例3：利用公式解决实际问题 已知矩形的周长为28，相邻的两边分别为、且满足，求这个矩形的面积？ 【解答】49 【解析】 即， 整理得， ， 又， ， ∵矩形的面积为49. 巩固练习 1．运用立方和与立方差公式化简： （1）（y+3）（y2﹣3y+9）； （2）（3+2y）（9﹣6y+4y2）； （3）（5xy）（25x2xyy2）； （4）（2x+1）（4x2﹣2x+1）； （5）（2x﹣3y）（4x2+6xy+9y2）； （6）（x2+y2）（x4﹣x2y2+y4） 【解答】解：（1）（y+3）（y2﹣3y+9） ＝y3+27； （2）（3+2y）（9﹣6y+4y2） ＝27+8y3； （3）（5xy）（25x2xyy2） ； （4）（2x+1）（4x2﹣2x+1） ＝8x3+1； （5）（2x﹣3y）（4x2+6xy+9y2） ＝8x3﹣27y3； （6）（x2+y2）（x4﹣x2y2+y4） ＝x6+y6． 2. 求最大正整数，使得能被整除. 【解答】167 【解析】 只需使得180能被整除即可， 因此，的最大值为167. 3. 若为任意整数，求证：的值不大于100. 【解答】见解析 【解析】 4. 如果△ABC的三边a、b、c满足，试判断△ABC的形状. 【解答】等腰三角形或直角三角形 【解析】 即 整理得 ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 5. 化简 【解答】 【解析】 6. 将分解因式，并用分解因式结果计算. 【解答】1849 【解析】 7. 已知，求：（1）的值；（2）的值；（3）的值． 【解答】见解析 【解析】（1）， ∴； （2）， ； （3），， 即， ． 8. 已知，求的值 【解答】1 【解析】， 9. 已知，求的值. 【解答】 【解析】 即 即 10．根据m（a+b+c）＝ma+mb+mc，可得（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3． 即（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式． （1）把立方和公式①中的b改用﹣b替代时，可得立方差公式，请直接写出立方差公式 　（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+b3　． （2）立方和和立方差公式统称为立方公式，请根据立方公式判断计算（x+1）（x2+x+1）能直接运用公式吗？若能，请直接写出答案；若不能，请改变某个因式中的某一项，使它能利用立方公式计算，并直接写出相应的计算结果． 【解答】解：（1）（a﹣b）[a2+ab+（﹣b）2]＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3． 即（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+b3； 故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+b3； （2）不能， （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1． 11．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2） 立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2） 根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中x＝3． 【解答】解： ， 当x＝3时，原式2． 12．已知实数x，y满足方程组．温馨提示：立方和（差）公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． 求值：（1）xy （2）x2+y2． 【解答】解：（1）∵x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝19，x+y＝1， ∴x2﹣xy+y2＝19， ∴x2+y2＝19+xy， ∵x2+2xy+y2＝（x+y）2＝1， ∴19+xy+2xy＝1， 解得：xy＝﹣6， （2）∵xy＝﹣6， ∴x2﹣（﹣6）+y2＝19， ∴x2+y2＝13． 13．阅读：材料1：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，最高次项的系数不为零，这样的整式方程叫做一元二次方程，它有一种解法是利用因式分解来解的，如解方程：x2﹣3x+2＝0，左边分解因式得（x﹣1）（x﹣2）＝0，所以x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以原方程的解是x＝1或x＝2． 材料2：立方和公式用字母表示为：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）， （1）请利用材料1的方法解方程：x2﹣6x+5＝0； （2）请根据材料2类比写出立方差公式：x3﹣y3＝　（x﹣y）（x2