专题04 分式-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

专题04：分式 1. 分式的定义：形如（其中B中含有字母）的式子叫做分式. 2. 分式的性质：分式的分子与分母同时乘或除以一个不为0的整式，分式的值不变. 如. 3. 繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，此分式就称为繁分式. 如或等. 4. 繁分式的化简：一般将其化成分式的除法进行运算. （1）分数乘除法在运算过程中，可以先约分再运算； （2）当分子或分母是多项式时，必须先对其进行因式分解，然后再进行约分计算； （3）最后的运算结果应该保留成整式或最简分式； （4）分母的乘除法，按照运算顺序依次计算. 例1：分式化简求值 已知， 求的值. 【解答】1 【解析】 ， ∵、、均为实数， . 例2：分式的意义 已知为整数，且为整数，则所有符合条件的值的和为 . 【解答】12 【解析】该分式化简过程如下： 因为式子的值是整数，则，则或或或，则所有符合条件的的值的和为12. 例3：分式的性质 若边长为的正方形与长、宽分别为m、n的矩形面积相等，则下列比例式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【解答】D 【解析】由题意可得，∴，A选项正确； ∵，，即； ∵，∴，即，∴，C选项正确； 故选D. 例4：用公式求值 已知，求的值. 【解答】 【解析】化简过程如下： 将代入上式得原式. 例5：通分化简分式 化简： 【解答】见解析 【解析】直接通分计算量较大，可采用逐步通分法，过程如下： 巩固练习 一．选择题 1．如果a，b，c，d是正数，且满足a+b+c+d＝2， ，那么的值为（　　） A．1 B． C．0 D．4 2．设，则＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 3．自然数a，b，c，d满足，则等于（　　） A． B． C． D． 4．设x＜0，，则代数式的值（　　） A．1 B． C． D． 5．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．﹣3或 B．或 C．﹣3或或 D．﹣3或 6．如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（　　） A．13 B．15 C．20 D．22 7．已知a、b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设则下列两个结论（　　） ①ab＝1时，M＝N，ab＞1时，M＞N；ab＜1时，M＜N．②若a+b＝0，则M•N≤0． A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错 8．已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 二．填空题 9．（1）已知，则＝ 　； （2）已知，则＝ 　． 10．已知：，则的值为　 　． 11．已知a2﹣3a﹣1＝0，求a6+120a﹣2＝　 　． 12．已知a，b，c是不为0的实数，且那么的值是 　． 13．如果a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9，，则的值为　 　． 14．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，． 类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么 （B+1）﹣（A+1）＝　 　． 三．解答题 15．先化简，再求值：，其中． 16．（1）已知（a+b）2＝6，（a﹣b）2＝2，求a2+b2与ab的值； （2）已知，求的值. 17．已知，求的值． 18．已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，求代数式的值． 19．先化简后求值：已知：，求分式的值． 20．先化简，再求值：，其中x是方程 x2﹣3x﹣10＝0的解． 21．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；． （1）分式是 　 　分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式； （3）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． 22．深化理解：阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b； 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b． ∵对于任意x上述等式成立， ∴解得：． ∴x﹣2． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 　 　； （2）已知整数x使分式的值为整