专题03 二次根式-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

专题03：二次根式 1. 二次根式的定义：一般地，形如的式子叫做二次根式. 2. 二次根式的性质 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 3. 无理式的定义：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式，如是无理式，而不是无理式. 4. 分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 方法：分子、分母同时乘分母的有理化因式，或通过约分的方法达到分母有理化的目的. 5. 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式，常用的有理化因式有： （1）与； （2）与； （3）与. 4. 分子有理化：把分子中的根号化去，叫做分母有理化. 方法：分子、分母同时乘分子的有理化因式. 5. 二次根式的大小比较：二次根式比较大小的方法有平方比较法、作差比较法、求商比较法、求倒数比较法等，其中，比较常用的是平方比较法. 6. 二次根式的运算：二次根式的加减类似于多项式的加减，先化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并；二次根式的乘法类似于多项式的乘法；二次根式的除法，通常写成分数的形式，再进行分母有理化. 例1：二次根式的意义 已知实数满足，求的值是多少？ 【解答】2019 【解析】∵二次根式有意义， ，即， ， ， 解得， 等式两边平方，整理得. 例2：二次根式的性质与化简 若实数、满足，求、之间的数量关系？ 【解答】 【解析】， ， 同理可得， ①＋②可得，. 例3：分母有理化 已知，求的值. 【解答】 当时，原式. 例4：比较大小 试比较与的大小. 【解答】 【解析】 化简后分母相同，分子不同，所以倒数大的反而小，所以. 例5：双重二次根式化简 已知，则 . 【解答】 【解析】将的左边分子有理化得， 化简得， 两式相加得， 解得， . 巩固练习 一．选择题 1．若x2+y2＝1，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知x＝﹣2，x4+8x3+16x2的值为（　　） A． B． C．3 D．9 3．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 4．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则x3+y3+z3﹣3xyz的值是（　　） A．0 B．1 C．3 D．条件不足，无法计算 5．设，则S最接近的整数是（　　） A．2015 B．2016 C．2017 D．2018 6．若关于a的二次根式有意义，且a为整数，若关于x的分式方程1的解为正数，则满足条件的所有a的值的和为（　　） A．﹣7 B．﹣10 C．﹣12 D．﹣15 二．填空题 7．已知a、b满足，则ab的值为　 　． 8．已知，则4x2+4x﹣2017＝　 　． 9．若，则a2004×b2005＝　 　． 10．已知xy＝3，那么的值是　 　． 11．当x＝，y＝时，的值为 　． 12．阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当x＞0时，代数式的最小值为 　 　； （2）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，则四边形ABCD面积的最小值为 　 　． 三．解答题 13．已知，求代数式的值． 14．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值． 15．已知：，求的值． 16．已知，且19x2+123xy+19y2＝1985．试求正整数n． 17．已知矩形的周长为cm，一边长为cm，求此矩形的另一边长和它的面积？ 18．观察下列格式，， （1）化简以上各式，并计算出结果； （2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果 （3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程． 19．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：　 　．（填写一个符合上述运算特征的例子）； （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 　； （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律化简：　 　． 20．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ）． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． （Ⅱ）还可以用以下方法化简 ． （1）请用不同的方法化简． ①参照（Ⅰ）式，化简　 　； ②参