1.4充分条件与必要条件（精讲）-【题型·技巧培优系列】2022年新高一数学暑假预习精讲精练(人教A版2019必修第一册)

1.4 充分条件与必要条件 【题型解读】 【知识储备】 一.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的不充分条件 q不是p的不必要条件 二.充要条件 1．如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q． 2．如果p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件． 3．如果p⇒q且q p，则称p是q的充分不必要条件． 4．如果p q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 5．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}， 若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件． 【题型精讲】 【题型一　充分、必要条件的判定】 必备技巧 充分、必要条件的判定 (1)定义法： ①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． ②若p⇔q，则p是q的充要条件． ③若p⇒q，且qp，则称p是q的充分不必要条件． ④若pq，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． ⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法. 例1　（2022•凌源市模拟）设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜6}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（　　） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】解：“x∈M或x∈P”即x∈M∪P，M∪P＝{x|x＞2}∪{x|x＜6}＝R，M∩P＝{x|2＜x＜6}． ∴x∈M∩P⇒x∈M∪P，反之不成立． ∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选：C． 例2　（2022届山东省烟台市高考诊断性测试）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，解得， ，解得或， “”成立，则“或”成立， 而“或”成立，“”不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 【题型精练】 1. （2022·贵州南明贵阳一中高一期中）设集合，，则“”是“”的（ ) A．充分条件 B．必要条件 C．没有充分、必要性 D．既是充分又是必要条件 【答案】A 【解析】当，集合，，所以正确，即“”是“”的充分条件，所以正确选项为A. 2．（2022·哈尔滨市第一中学校）已知，，则是的（ ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由已知，反之不成立，得是的充分不必要条件，所以正确选项为A. 3. （2022·山东济南高一期中）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由可得，即， 则是的充分不必要条件，故选：A. 【题型二　充分、必要条件的探索】 必备技巧 充分、必要条件的探索 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 例3　（多选）（2022·浙江高一期末）“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】，所以.设,设选项对应的集合为, 因为选项是“”的一个充分不必要条件，所以是的真子集.故选：BC. 例4　（2022·江苏南通市·海安高级中学高一期中）（多选）一元二次方程有正数根的充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】设，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 要使得一元二次方程有正数根，则满足，即， 所以一元二次方程有正数根的充分不必要条件可以为B、C， 故选：BC. 例5　（2022·河北高一月考）设全集U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有（　　） ①A∪B＝A； ②∁UA∩B＝∅③∁UA⊆∁UB；④A∪∁UB＝U A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：如下图借助Venn图，可以判断出A∪B＝A⇔B⊆A， ∁UA∩B＝ϕ⇔B⊆A，∁UA⊆∁UB⇔B⊆A，A∪∁UB＝U⇔B⊆A， 故①②③④均正确．故选：D． 【题型精练】 1．（2022·上海高一月考）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A选项，取，，则，但，即“”不是