2.2基本不等式（精练）-【题型·技巧培优系列】2022年新高一数学暑假预习精讲精练(人教A版2019必修第一册)

2.2 基本不等式 【题型解读】 【题型一　对基本不等式的理解】 1. （多选题）（2022•无锡校级月考）下列结论成立的是（　　） A．若a，b∈R，则a10+b10≥2a5b5 B．若x≠0，则x22 C．若，则a＞0，b＞0 D．∃a∈R，使a2+9＜6a 【答案】AB 【解析】解：对于选项A：∵a10+b10≥22|a5b5|≥2a5b5（当且仅当a＝b时取“＝“），∴选项A正确； 对于选项B：∵当x≠0时，x222（当且仅当x2时取“＝“），∴选项B正确； 对于选项C：当a＝b＝﹣1时满足2，但a＜0，b＜0，∴选项C错误； 对于选项D：∵a2+9﹣6a＝（a﹣3）2≥0，即a2+9≥6a恒成立，∴选项D错误． 故选：AB． 2.（2022·衡水市第十三中学高一月考）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】x，y都是正数， 由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立； 中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立． 故选：D． 3. （2022•秦淮区月考）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a和b，则该图形可以完成的无字证明为（　　） A． B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C． D． 【答案】B 【解析】解：因为直角三角形的直角边长分别为a和b， 所以斜边即大正方形的边长为，大正方形面积a2+b2， 由题意得a2+b2≥42ab，当且仅当a＝b时取等号，故选：B． 4. （2022·河北·高一月考）下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x>1，则x＋≥2＝2； ②若x<0，则x＋＝－ ≤－2＝－4； ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 【答案】② 【解析】①中忽视了基本不等式等号成立的条件， 当x＝，即x＝1时，等号成立， 因为x>1，所以x＋>2； ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． 【题型二　直接法求最值】 1.（2022·甘肃酒泉·高一期中）设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是(　　) A．400 B．100 C．40 D．20 【答案】A 【解析】∵≤(x>0，y>0)， ∴xy≤2＝2＝400. 当且仅当x＝y＝20时，等号成立． 2.（2022·河北·高一期末）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D．6 【答案】B 【解析】解：∵a＞0，b＞0，∴当且仅当a＝b＝1时，取等号． 故选：B． 3．（2022·湖北十堰期末）若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题意，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值． 4.（2022·河北石家庄期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）， ， 当且仅当时取等号； 所以的最小值为； （2）， ， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 【题型三　凑配法求最值】 1.（2022·山西·怀仁市第一中学校月考）函数的最小值为（       ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【解析】因为，所以3x－1>0， 所以， 当且仅当，即x =1时等号成立， 故函数的最小值为5． 故选：D． 2.（2022·上海虹口·高一期末）当x＞1时，求的最小值为 　 　． 【答案】10 【解析】解：当x＞1时，2x2（x﹣1）2≥22＝10， 当且仅当，即x＝3时等号成立，所以2x的最小值为10． 故答案为：10． 3．（2022·北京大兴·高一期末）若，则的最大值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故，则，当时取“=”，所以正确选项为A 4. （2022·全国·高一专题练习）已知，求函数的最小值是 （ ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】由，即，所以，时取“=”，所以正确选项为D 【题型四 “1”的代换法求最值】 1.（2022·河南·夏邑第一高级中学高一期末）若正数，满足，则的最小值是（ ） A． B． C．5 D．25 【答案】C 【解析】正数，满足，则，当且仅当时取等号．的最小值是5．故选：C． 2.（2022·安徽·南陵中学高一月考）已知正数、满足，则的最小值为 【答案】 【解析】，所以，