2.2基本不等式（精讲）-【题型·技巧培优系列】2022年新高一数学暑假预习精讲精练(人教A版2019必修第一册)

2.2 基本不等式 【题型解读】 【知识储备】 1. 两个不等式 重要不等式：当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 基本不等式：当a>0，b>0时有≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 【题型精讲】 【题型一　对基本不等式的理解】 方法技巧 对基本不等式的理解 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 例1　（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一月考）下列说法中错误的是（　　） A．不等式a+b≥2恒成立 B．若a，b∈R+，则2 C．若a，b∈R+，满足a+2b＝1，则8 D．存在a∈R，使得a2成立 【答案】A 【解析】解：对于A，当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故选项A错误； 对于B，因为a，b∈R+，则，当且仅当a＝b时取等号，故选项B正确； 对于C，因为a＞0，b＞0且a+2b＝1，所以，当且仅当a＝2b时取等号，故选项C正确； 对于D，当a＝1时，a2成立，故选项D正确． 故选：A． 例2　（多选）（2022·衡水市第十三中学高一月考）已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对A，，，当且仅当时等号成立，故A正确； 对B，，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对C，，即，故C错误； 对D，，，，即，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：AB. 【题型精练】 1. （2022·宁夏·银川一中期中）下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 2．（多选题）（2022•海南高一期末）下列说法中正确的有（　　） A．不等式恒成立 B．存在a，使得不等式成立 C．若a，b∈（0，+∞），则 D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则 【答案】BCD 【解析】解：不等式恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确； 当a为负数时，不等式成立．故B正确； 由基本不等式可知C正确； 对于， 当且仅当，即，时取等号，故D正确． 故选：BCD． 【题型二　直接法求最值】 例3　（2022·甘肃酒泉·高一期中）若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】∵，， ∴，即，当且仅当时等号成立， ∴． 故选：D． 例4　（2022·河北·高一期末）已知，，，且，，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由知，，，， 当且仅当时取等号.故的最小值为4故选：B 【题型精练】 1．（2022·湖北十堰期末）设x＞0，y＞0，则x+4y的最小值为 　　． 【答案】4 【解析】解：x+4y≥24（当且仅当x＝4y时，等号成立）， 424（当且仅当4时，等号成立）， 故x+4y4（当且仅当4且x＝4y，即x＝1，y时，等号成立）， 故x+4y的最小值为4， 故答案为：4． 2. （多选）（2022·河北石家庄期中）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（       ） A．上的最小值为2 B．的最大值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为 【答案】AB 【解析】∵， ∴， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； ，∴，当且仅当时，等号成立，故B正确； ，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：AB 【题型三　凑配法求最值】 必备技巧 通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　 例5　（20