2.1等式与不等式的性质（精讲）-【题型·技巧培优系列】2022年新高一数学暑假预习精讲精练(人教A版2019必修第一册)

2.1 等式与不等式的性质 【题型解读】 【知识储备】 1．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． (8)如果a>b>0，那么>，(n∈N，n≥2)． 【题型精讲】 【题型一　不等关系的建立】 必备技巧 不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 例1　（2022•凌源市模拟）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】长、宽、高之和不超过，.故选：. 例2　（2022届山东省烟台市高一诊断性测试）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖（a＞b＞0），再添加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，因此正确．故选：B． 【题型精练】 1. （2022·贵州南明贵阳一中高一期中）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ） A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 【答案】C 【解析】依题意可设买大竹子，每根单价为，购买小竹子，每根单价为， 所以，即，即， 因为，所以， 根据选项，，所以买大竹子根，每根元.故选：C 2．（2022·哈尔滨市第一中学校课时练习）用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m; (2)a与b的和是非负实数; (3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍. 【答案】(1);(2);(3) 【解析】（1）； （2）； （3）由题,则矩形地基的长为,宽为,则 3. （2022·山东济南高一期中）某工厂生产甲，乙两种图画纸，计划每种图画纸的生产量不少于8t，已知生产甲种图画纸1t要用芦苇7t、黄麻3t、枫树5t；生产乙种图画纸1t要用芦苇3t、黄麻4t、枫树8 t.现在仓库内有芦苇300t、黄麻150t.枫树200t，试列出满足题意的不等式组. 【答案】 【解析】设甲、乙两种图画纸的生产量分别为，，根据题意，应有如下的不等关系： ①生产甲、乙两种图画纸所用的芦苇总量不超过，用不等式表示为； ②生产甲、乙两种图画纸所用的黄麻总量不超过，用不等式表示为； ③生产甲、乙两种图画纸所用的枫树总量不超过，用不等式表示为； ④甲、乙两种图画纸的生产量都不少于，用不等式表示为，. 所以满足.题意的不等式组为 故填：. 【题型二　比较大小】 必备技巧 作差法比较大小 （1）作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． （2）变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 例3　（2022·浙江高一月考）已知，，则、 的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】， ,，又， ，. 故选C. 例4　（2022·江苏南通市·海安高级中学高一期中）比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与； （3）当时，与；