1.5全称量词与存在量词（精讲）-【题型·技巧培优系列】2022年新高一数学暑假预习精讲精练(人教A版2019必修第一册)

1.5 全称量词与存在量词 【题型解读】 【知识储备】 1．全称量词与全称量词命题 (1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． (2)全称量词命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)． (3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义． 2．存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． (2) 存在量词命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)． (3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义． 3．命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称量词命题的否定是存在量词命题． (2) 存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，存在量词命题的否定是全称量词命题． 4．常见的命题的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有 一个 至多有 一个 对任意x∈A 使p(x)真 否定 形式 不是 不都是 ≤ 一个也 没有 至少有 两个 存在x∈A 使p(x)假 【题型精讲】 【题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断】 必备技巧 全称量词命题与存在量词命题的判断 判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些命题并没有给出全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断． 例1　（2022•凌源市模拟）下列命题含有全称量词的是 （ ) A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数 C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数 【答案】B 【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程有实数解”即“存在实数，使”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B. 例2　（2022届山东省烟台市高一诊断性测试）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. （1）梯形的对角线相等； （2）存在一个四边形有外接圆 （3）二次函数的图象都与x轴相交； （4）存在一对实数x，y，使成立 【答案】（1）全称量词命题；（2）存在量词命题；（3）全称量词命题；（4）存在量词命题 【解析】（1）命题完整的表述应为“所有梯形的对角线都相等”，很显然是全称量词命题. （2）命题中含有存在量词，为存在量词命题. （3）命题完整的表述为“所有的二次函数的图象都与x轴相交”，故为全称量词命题. （4）命题中含有存在量词，为存在量词命题. 【题型精练】 1. （2022·贵州南明贵阳一中高一期中）判断下列命题属于全称量词命题还是存在量词命题，并用数学量词符号改写下列命题： （1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0． 【解析】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根，是一个全称量词命题，用符号表示为：∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个存在量词命题，用符号表示为：∃一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆，是一个存在量词命题，用符号表示为：∃一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0，是一个全称量词命题，用符号表示为：∀x∈R，x2≥0． 2．（2022·哈尔滨市第一中学校课时练习）（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（ ） A．至少有一个x使成立 B．对任意的x都有成立 C．对任意的x都有不成立 D．存在x使成立 E.矩形的对角线垂直平分 【答案】BCE 【解析】 A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题； B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题； E中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.故选：BCE 3. （2022·山东济南高一期中）下列命题中，全称量词命题的个数为（） ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两条边的长度不相等； ③存在一个菱形，它的四条边不相等； ④高二（1）班绝大多数同学是团员． A．0