第03讲 平面向量的应用（6.4.2向量在物理中的应用举例+6.4.3余弦定理、正弦定理）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2022年高一升高二数学暑假进阶学习方案（人教A版2019）

第03讲 平面向量的应用 目录 高频考点1：三角形四心的向量形式 ①内心 ②外心 ③垂心 ④重心 高频考点2：余弦定理 ①余弦定理及其辨析 ②余弦定理解三角形 ③余弦定理边角互化 高频考点3：正弦定理 ①正弦定理及其辨析 ②正弦定理解三角形 ③正弦定理边角互化 ④正弦定理判断三角形个数 高频考点4：判断三角形的形状 高频考点5：解三角形综合 ①求三角形边长或周长 ②求三角形面积 ③求三角形边长或周长最值（取值范围） ④求三角形面积最值（取值范围） ⑤三角形中线问题 ⑥三角形角平分线问题 高频考点6：几何图形中的计算问题 高频考点1：三角形四心的向量形式 ①内心 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； ①设为所在平面上一点,内角,,所对的边分别为,,,则为的内心 ②面积关系式：(其中是内切圆半径) 例题1．（2022·黑龙江·哈九中高一阶段练习）年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知为内一点，，，的面积分别为，，，则有，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知的内角的对边分别为，且，为内的一点且为内心.若，则的最大值为___________. 例题2．（2021·全国·高二专题练习）在中，，，，是的内心，则向量在向量上的投影为________． 例题3．（2019·福建·高三竞赛）已知为的内心，且.记､分别为的外接圆､内切圆半径，若，则=____________ . 例题4．（2022·吉林·长春外国语学校高一阶段练习）在中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过的（     ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 例题5．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））平面上有及其内一点，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角的对边分别为若满足，则为的（     ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 例题6．（2022·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（       ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 ②外心 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 设为的外心. . 例题1．（2021·黑龙江·鸡东县第二中学高三期中（理））已知为的外心，，则的正弦值为______． 例题2．（2020·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的________(填序号）．①内心   ②垂心     ③ 重心     ④外心 例题3．（2021·重庆·铜梁一中高一阶段练习）已知点为的外心，角，,的对边分别为．若，则_______． ③垂心 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； 为的垂心. . 例题1．（2022·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2022·河南南阳·高一期中）若为所在平面内一点，且则点是的（   ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 例题3．（2022·全国·高一专题练习）已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（   ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 例题4．（2021·湖南永州·高一期末）已知在中，，点为的垂心，则=________． ④重心 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1 为的重心. 例题1．（2022·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）在等边中，为重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（2022·重庆·三模）已知为的重心，记，，则（       ） A． B． C． D． 例题3．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）如图所示，是边长为6的等边三角形，是它的重心，过的直线分别交线段，于，两点，，当在区间上变化时，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例题4．（2022·辽宁·二模）已知点为的重心，，点是线段的中点，则||为（       ） A．2 B． C． D． 例题5．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知为的重心（三条中线的交点），，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 高频考点2：余弦定理 ①余弦定理及其辨析 例题1．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知的内角所对的边分别为满足且，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（2022·全国·高一专题练习）在中，已知则该三角形的形状为（    ） A．