第05讲 等式性质与不等式性质-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第05讲 等式性质与不等式性质 【学习目标】 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 【基础知识】 一、不等式基本性质 二、常用的结论 1.a>b，ab>0⇒<； 2.b<0<a⇒>； 3.a>b>0，c>d>0⇒>； 4.若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)． 三、作差比较法的四个步骤 四、利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧 1.实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件． 2.技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件． 五、利用不等式求范围应注意的问题 求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求． 【考点剖析】 考点一：利用不等式性质判断不等关系的真假 例1．（2020-2021学年四川省成都市天府新区高一下学期期末）若a，b为实数，下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，当时，满足，不满足，故A不正确； 对于B，当时，满足，不满足，故B不正确； 对于C，当时，满足，不满足，故C 不正确； 对于D，若，则，故D正确.故选D. 考点二：利用不等式性质比较大小 例2．已知互不相等的正数a、b、c满足，则下列不等式中可能成立的是（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则，得，排除A、D． 若，则，得，即，排除C． B是可能的，如：，，.故选B 考点三：作差法比较大小 例3．比较与的大小． 【答案】< 【解析】, <. 考点四：利用不等式性质求变量范围 例4．（2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中）已知，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，，所以， 所以的取值范围是，故选D. 考点五：利用不等式性质证明不等式 例5．求证： (1)若，且，则； (2)若，且，同号，，则； (3)若，且，则． 【解析】 (1)证明：因为，所以， 又，故， 即； (2)证明：因为，，所以 ， 因为，同号，所以 ，， 故，即 ，所以； (3)证明：因为，所以 ， 又，所以 ， 故. 【真题演练】 1．（2021-2022学年】内蒙古赤峰二中高一下学期第二次月考）下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学校高一下学期第二次月考）如果，那么下面不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 3.（2021-2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考）已知，，，则的大小关系为（       ） A． B． C． D．无法确定 4．（多选）（2021-2022学年广东省华附高一上学期10月月考）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中的假命题是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5.（多选）（2021-2022学年重庆市璧山中学校高一上学期12月月考）已知，，，均为实数，下列不等关系推导正确的是（       ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 6. （2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考）已知1，2则4的取值范围为__________. 7.（2021-2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期9月月考）已知真分数（b>a>0）满足>>>，….根据上述性质，写出一个全称量词命题或存在量词命题（真命题）________ 8. （2021-2022学年广西十八校高一10月联考）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 【过关检测】 1.（2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高一下学期期末）若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（       ）