第06讲 基本不等式-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第06讲 基本不等式 【学习目标】 1.掌握基本不等式 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题． 【基础知识】 一、几个重要的不等式 1.≤（a>0，b>0） 2.a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． 3.＋≥2(a，b同号)． 4.ab≤2 (a，b∈R)． 5.≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 二、算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 三、利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 1.如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) 2.如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 3.应用基本不等式时的三个关注点 (1)一正数：指式子中的a，b均为正数. (2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值. (3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值. 4.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．凑配法求最值的基本技巧：①配凑系数；②配凑常数；③配凑分子；④配凑分母；⑤配凑项数 5.条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．求＋型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决． 四、基本不等式的其他应用 1.基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小 2.一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max. 3.利用基本不等式证明不等式的策略 从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. 对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用. 4.构造不等式求范围 利用或ab≤将式子转化为含ab或a+b的一元二次不等式，将ab，(a+b)作为整体解出范围 5．函数法求最值：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值. 6.利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【考点剖析】 考点一：利用基本不等式判断命题的真假 例1．（2021-2022学年江西省赣州市赣县高一下学期开学考试）下列说法正确的为（       ） A． B．函数的最小值为4 C．若则最大值为1 D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8 【答案】C 【解析】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确； 对于选项,，令， 即在上单调递增，则最小值为, 则不正确；对于选项,，则正确； 对于选项,当时，，当且仅当 时，即，等号成立，则不正确.故选. 考点二：利用基本不等式比较大小 例2．（2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市高一上学期期中）若a＞0，b＞0，且a≠b，则（       ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 【答案】B 【解析】∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0， ∴＜，故选B 考点三：利用基本不等式求最值 例3．（2021-2022学年吉林省延边州高一上学期期末）已知，则函数的最小值是（       ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题设，，∴，当且仅当时等号成立，∴函数最小值为.故选D. 考点四：利用基本不等式求范围 例4．(2021-2022学年湖北省黄石市有