专题6 第4讲 母题突破1 范围、最值问题-（配套课件）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

第4讲　圆锥曲线的综合问题 专题六　解析几何 1 1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范 围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题. 2.以解答题的形式压轴出现，难度较大. 考情分析 KAO QING FEN XI 内 容 索 引 母题突破1　 专题强化练 母题突破1　范围、最值问题 母题突破1　范围、最值问题 母题　(2021·全国乙卷改编)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，圆M：x2＋(y＋4)2＝1，若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值. 思路分析 ❶设切点A，B坐标，求切线方程 　　　 ↓ ❷设点P坐标，求直线AB方程 　　　 ↓ ❸联立直线AB与抛物线C方程 　　 ↓ 　 ❹弦长公式求|AB|，即可得到S△PAB ↓ ❺函数思想，求S△PAB最值 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 同理可知，直线PB的方程为x2x－2y2－2y＝0， 由于点P为这两条直线的公共点， 所以点A，B的坐标满足方程x0x－2y－2y0＝0， 所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0， 由根与系数的关系可得x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0， 所以S△PAB＝ ， 由已知可得－5≤y0≤－3， 解　A(－2,0)，设D(x0，y0)，E(x1，y1)， ∵E在双曲线上， ∴(－2＋λx0)2－3(λy0)2＝3(1＋λ)2， 代入上式可得， 又点D在双曲线的右支上， 解　设直线l1为y＝k(x－2)＋1， 则直线l2为y＝－k(x－2)＋1， 由Δ＝(4k－8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－8k－4)＝16(k＋1)2>0，解得k≠－1， 因此，|AB|的最大值为4. 规律方法 求解范围、最值问题的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系. (2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系. (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式. (4)利用基本不等式. 跟踪演练 1 2 解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵Δ＝36m2＋36>0，x1＋x2＝－6m，x1x2＝－9， 1 2 ∵m2＋1≥1，∴S≥9.当m＝0时，S＝9. ∴△ABP面积的最小值为9. 1 2 1 2 解　设MN的方程为y＝kx＋m，设点M(x1，y1)， 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 1 2 1 2 解得m＝2k(舍去)或m＝－k，满足Δ>0， 即4k2－12＋8k2＋3k2－12k2＋3＋4k2<0， 1 2 (1)求圆心P的轨迹C的方程； 专题强化练 1 2 故圆心P的轨迹C的方程为y2＝2x. 1 2 解　设动圆P的半径为r， 1 2 (2)若过定点 的两条相互垂直的直线lAC，lBD交曲线C于A，B，C，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 解　由题意可知直线AC既不平行于x轴，也不平行于y轴， 于是，设直线AC的斜率为kAC＝k(k≠0)， 1 2 1 2 所以四边形ABCD面积的最小值为8. 2.如图，在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，过直线l：x＝4左侧的动点P作PH⊥l于点H，∠HPF的平分线交x轴于点M，且|PH|＝2|MF|，记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； 解　设P(x，y)，由题意可知|MF|＝|PF|， 1 2 1 2 解　由题意，得直线l′的斜率k≠0， 设直线l′的方程为x＝my＋1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)>0恒成立， 1 2 1 2 本课结束 解　抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝，对该函数求导得y′＝， 直线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝－y1，即x1x－2y1－2y＝0， 则 联立可得x2－2x0x＋4y0＝0， 因为x－4y0＝1－(y0＋4)2－4y0＝－y－12y0－15＝－(y0＋6)2＋21， 所以|AB|＝·＝· ＝， 因为点P到直线AB的距离为d＝， 所以S△PAB＝|AB|·d＝·＝ ， 所以当y0＝－5时，△PAB的面积取最大值× ＝20. 子题1　(2021·重庆模拟)如图，已知双曲线C：－y2＝1，设双曲线C的左、右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若＝λ，求实数λ的取值范围. ∴＝(x1＋2，y1)，＝(x0－x1，y0－y1)， 则由＝λ， 可得x1＝，y1＝， ∴－y＝1， ∴λ≤＝，且λ>0， ∴0<λ≤. ∵D在双曲线上，∴－y＝1， 即3y＝x－3，