专题2 培优点6 平面向量数量积的最值与范围问题-（配套课件）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

培优点6　平面向量数量积的最值与范围问题 专题二　三角函数与解三角形 1 平面向量的数量积是平面向量的重要内容，求解平面向量数量积的最值与范围问题，要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化. √ 解析　如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系， 解析　以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)， √ 解析　如图，取线段AB的中点M，连接OM，则OM⊥AB， ∵A，B是圆x2＋y2＝16上的两个动点，且∠AOB＝120°， 则OM＝2，即M点轨迹为以原点为圆心，以2为半径的圆. 设原点到直线3x＋4y＋25＝0的距离为d， √ 能力 提升 与数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质. 跟踪演练 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 即12(a·b)2＋2a·b－2＝0， 整理得(2a·b＋1)(3a·b－1)＝0， A.13 B.15 C.19 D.21 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 解析　建立如图所示的平面直角坐标系， ∴P(1,4)， 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 因为0≤t≤1， 1 2 3 4 4.已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a＋b|＝1，则|c－b|的取值范围是_______________. 1 2 3 4 解析　由a，b是单位向量，且a·b＝0，则可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y). ∵向量c满足|c－a＋b|＝1， ∴|(x－1，y＋1)|＝1， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝1， 它表示圆心为C(1，－1)，半径为r＝1的圆， 1 2 3 4 本课结束 例1　(1)(2021·新余模拟)已知△ABC是顶角A为120°，腰长为2的等腰三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是 A.－ B.－ C.－ D.－1 当P时，所求的最小值为－. 则A(0,1)，B(－，0)，C(，0)，设P(x，y)， 所以＝(－x,1－y)，＝(－－x，－y)， ＝(－x，－y)， 所以＋＝(－2x，－2y)， ·(＋)＝2x2－2y(1－y)＝2x2＋22－≥－， (2)如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若＝2，则x·的最小值为________. 5－2 当θ＝－φ时，·取得最小值，为5－2. 其中0<tan φ＝<，所以0<φ<， 则A(－1，)，C(2，)， 设P(2cos θ，2sin θ)， 则·＝(2－2cos θ，－2sin θ)·(－1－2cos θ，－2sin θ)＝5－2cos θ －4sin θ＝5－2sin(θ＋φ)， 例2　(1)(2021·九江模拟)点O为坐标原点，若A，B是圆x2＋y2＝16上的两个动点，且∠AOB＝120°，点P在直线3x＋4y＋25＝0上运动，则·的最小值是 A.－3 B.－4 C.－5 D.－6 ·＝(＋)·(＋)＝2＋(＋)·＋·＝2－12， 则d＝＝5， ∴PMmin＝d－2＝3，·的最小值是－3. (2)(2021·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|－－|＝1，则||的最小值为 A.－1 B.2－1 C.2－1 D.－1 因此||的最小值为2－1. 解析　因为|＋|2＝2＋2＋2·＝||2＋||2＋2||·|| cos ＝12， 所以|＋|＝2， 由平面向量模的三角不等式可得||＝|(－－)＋(＋)| ≥||－－|－|＋||＝2－1. 当且仅当－－与＋方向相反时，等号成立. 1.已知单位向量a，b满足|a－b|＋2a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为 A. B. C. D. 因为|a－b|＝－2a·b≥0， 所以a·b≤0，所以a·b＝－， 所以|ta＋b|＝＝＝＝≥. 解析　由|a－b|＋2a·b＝0，得|a－b|＝－2a·b，两边平方，得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)2， 所以a·b＝－或a·b＝， 2.已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于 ·＝·(－1，t－4) ＝17－≤17－2＝13， 则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)， ＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)， 当且仅当t＝时等号成立. ∴·的最大值等于13.