专题1 第4讲 导数的几何意义及函数的单调性-（配套课件）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

专题一　函数与导数 第4讲　导数的几何意义及函数的单调性 1 考情分析 KAO QING FEN XI 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选 择题、填空题的形式考查，难度较小. 2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的 常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问， 难度中等偏上，属综合性问题. 内 容 索 引 考点一 考点二 考点三 专题强化练 1 考点一　导数的几何意义与计算 PART ONE 核心提炼 导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率. (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同. (3)切点既在切线上，又在曲线上. A.x－y－1＝0 B.4x－y－1＝0 C.x－4y－1＝0 D.4x－4y－1＝0 √ 令x＝1，可得f′(1)＝1－f′(1)＋1，解得f′(1)＝1， 根据导数的几何意义可得，在点(1，f(1))处切线斜率k＝f′(1)＝1， (2)(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则 A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea √ 则由题意知关于x0的方程 (1－x0＋a)＝b有两个不同的根. 设f(x)＝ex(1－x＋a)，则f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)， 由f′(x)＝0得x＝a，所以当x<a时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝ea(1－a＋a)＝ea， 当x<a时，a－x>0，所以f(x)>0， 解析　方法一　设切点(x0，y0)，y0>0，则切线方程为y－b＝ (x－a)， 当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，函数f(x)＝ex(1－x＋a)的大致图象如图所示， 因为f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，所以0<b<ea. 方法二　(用图估算法)过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线 ，则点(a，b)在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0<b<ea. 易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. 跟踪演练1　(1)(2021·西安模拟)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于 A.4 B.3 C.2 D.1 √ 解析　∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)， 将P(1,2)代入y＝kx＋1，可得k＋1＝2，解得k＝1， ∵P(1,2)在f(x)＝ln x＋b上， ∴f(1)＝ln 1＋b＝2，解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4. (2)人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿(Issac Newton,1643－1727)在《流数法》一书中给出了牛顿法－用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0处的切线与x轴的交点为x1，f(x)在x1处的切线与x轴的交点为x2，一直这样下去，得到x0，x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f(x)＝x2－2，x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为 A.1.438 B.1.417 C.1.416 D.1.375 √ 解析　f(x)＝x2－2，f′(x)＝2x， f(2)＝4－2＝2，f′(2)＝4，在点(2,2)处的切线方程为y－2＝4(x－2)， 令y＝0，解得x2≈1.417. 2 考点二　利用导数研究函数的单调性 PART TWO 利用导数研究函数单调性的步骤 (1)研究函数y＝f(x)的定义域； (2)求f(x)的导数f′(x)； (3)求出f′(x)的零点，划分单调区间； (4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号. 核心提炼 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， 若a≤0，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减. 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 规律方法 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况. 大多数情况下，这类问题可以归结为讨论含有参数的一元二次不等式的解集： (1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制； (2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论； (3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不