第二十一章 一元二次方程（章末小结）-2022-2023学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

一元二次方程章节复习 1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识. 2.能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题. 3.列一元二次方程解决实际问题.（重、难点） 4.进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用. 3 一、一元二次方程的基本概念 1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0) 3.项数和系数： 二次项：ax2 二次项系数：a 一次项：bx 一次项系数：b 常数项：c 一、一元二次方程的基本概念 4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程. 5.使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 二、解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 十字相乘法 x2+px+q=0 （二次项系数为1，p为偶数） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x-m)(x-n)＝0 各种一元二次方程的解法及使用类型 x2-(p+q)x+pq=0 三、一元二次方程根的判别式 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac. 当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. Δ＞0 方程有两个不等的实数根； Δ＝0 方程有两个相等的实数根； Δ＜0 方程无实数根. 四、一元二次方程的根与系数的关系 已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的两根. 则有： (1)不是一般式的，要化成一般式； (2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0； (3)在使用 时，注意“-”不要漏写. 五、一元二次方程的实际应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 验 答 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量. 设：设未知数，设其中某个未知量为x. 列：根据题意寻找等量关系列方程. 解：解方程. 验：检验方程的解是否符合题意. 答：写出答案(包括单位). 几种常见类型 传播问题 握手类型问题 平均变化率问题 销售利润问题 数字问题 图形面积问题 一元二次方程的有关概念 1 例1.方程 是关于x的一元二次方程,则m的值为( ) A.3 B.-3 C.±3 D.不存在 B 【分析】根据一元二次方程的概念可知： 解得 【1-2】若关于x的方程(m－1)x2＋mx－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是( ) A.m≠1 B.m＝1 C.m≥1 D.m≠0 A 【1-1】方程5x2－x－3＝x2－3＋x的二次项系数是___，一次项系数是____，常数项是____. 【1-3】当k_____时，关于x的方程 是一元二次方程. 4 -2 0 =-3 一元二次方程的根的应用 2 【分析】根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”. 例2.若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= . -1 【点睛】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意. 例3.已知m是一元二次方程x2-3x+2=0的一个根，则代数式2m2-6m+2022的值为（       ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【分析】 ∵m是一元二次方程x2-3x+2=0的一个根， ∴把x=m代入方程，得m2-3m+2=0，即：m2-3m=-2， ∴2m2-6m+2022=2(m2-3m)+2022=2×(-2)+2022=2018. 【点睛】求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值