三年专题04 导数及其应用（解答题）（文科专用）-三年（2020-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）

三年专题04 导数及其应用（解答题） （文科专用） 1．【2022年全国甲卷】已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 2．【2022年全国乙卷】已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 3．【2021年甲卷文科】设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 4．【2021年乙卷文科】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 5．【2020年新课标1卷文科】已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 6．【2020年新课标2卷文科】已知函数f（x）=2lnx+1． （1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围； （2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性． 7．【2020年新课标3卷文科】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $ 三年专题04 导数及其应用（解答题） （文科专用） 1．【2022年全国甲卷】已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 【答案】(1)3 (2) 【解析】 【分析】 （1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可； （2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围. (1) 由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； (2) ，则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 2．【2022年全国乙卷】已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. (1) 当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； (2) ，则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又，当x趋近正无穷大时，趋近于正无穷大， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 又，当n趋近正无穷大时，趋近负无穷， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题. 3．【2021年甲卷文科】设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性. （2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围. 【详解】 （1）函数的定义域为， 又， 因为，故， 当时，；当时，； 所以的减区间为，增区间为. （2）因为且的图与轴没有公共点， 所以的图象在轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得， 故即. 【点睛】 方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化. 4．【2021年乙卷文科】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和. 【解析】 【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性； (2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】 (1)由函数的解析式可得：， 导函数的判别式， 当时，在R上单调递增， 当时，的解为：， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增， 当时，在，上 单调递增，在上单调递减. (2)由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：, 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：,