三年专题04 导数及其应用（解答题）（理科专用）-三年（2020-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）

三年专题04 导数及其应用（解答题） （理科专用） 1．【2022年全国甲卷】已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则环． 2．【2022年全国乙卷】已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 3．【2022年新高考1卷】已知函数和有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 4．【2022年新高考2卷】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 5．【2021年甲卷理科】已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 6．【2021年乙卷理科】设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 7．【2021年新高考1卷】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 8．【2021年新高考2卷】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 9．【2020年新课标1卷理科】已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 10．【2020年新课标2卷理科】已知函数f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； （2）证明：； （3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤. 11．【2020年新课标3卷理科】设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直． （1）求b． （2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1． 12．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 三年专题04 导数及其应用（解答题） （理科专用） 1．【2022年全国甲卷】已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则环． 【答案】(1) (2)证明见的解析 【解析】 【分析】 （1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. (1) 的定义域为， 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 (2) 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1 不妨设 要证,即证 因为,即证 因为,即证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. 【点睛】 关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式 这个函数经常出现，需要掌握 2．【2022年全国乙卷】已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）先算出切点,再求导算出斜率即可 （2）求导,对分类讨论,对分两部分研究 (1) 的定义域为 当时,,所以切点为 ,所以切线斜率为2 所以曲线在点处的切线方程为 (2) 设 若,当,即 所以在上单调递增, 故在上没有零点,不合题意 若,当,则 所以在上单调递增所以,即 所以在上单调递增, 故在上没有零点,不合题意 若 (1)当,则,所以在上单调递增 所以存在,使得,即 当单调递减 当单调递增 所以 当 当 所以在上有唯一零点 又没有零点,即在上有唯一零点 (2)当 设 所以在单调递增 所以存在,使得 当单调递减 当单调递增, 又 所以存在,使得,即 当单调递增,当单调递减 有 而,所以当 所以在上有唯一零点,上无零点 即在上有唯一零点 所以,符合题意 所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为 【点睛】 方法点睛：本题的关键是对的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明. 3．【2022年新高考1卷】已知函数和有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 【分析】 （1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论. （2）根据（1）可得当时， 的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再