专题16 基本不等式-2022年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题16 基本不等式 【知识点梳理】 知识点一：基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：. 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点诠释： 1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 知识点诠释： 1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数. 2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值. 4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值. 5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案. 【题型归纳目录】 题型一：对基本不等式的理解及简单应用 题型二：利用基本不等式比较大小 题型三：利用基本不等式证明不等式 题型四：利用基本不等式求最值 题型五：利用基本不等式求解恒成立问题 题型六：基本不等式在实际问题中的应用 【典型例题】 题型一：对基本不等式的理解及简单应用 1．（2022·新疆喀什·高一期末）已知，则下列说法正确的是（       ） A．有最大值0 B．有最小值为0 C．有最大值为－4 D．有最小值为－4 【答案】B 【解析】 【分析】 由均值不等式可得，分析即得解 【详解】 由题意，，由均值不等式 ，当且仅当，即时等号成立 故，有最小值0 故选：B 2．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x>3，则对于，下列说法正确的是（       ） A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4 【答案】B 【解析】 【分析】 利用基本不等式计算可得； 【详解】 解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以有最小值； 故选：B （多选题）3．（2022·江苏省天一中学高一期末）已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有（       ） A． B． C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据不等式可推出，由此可判断A; 利用基本不等式可判断B;举例可判断C；利用不等式的性质可判断D. 【详解】 、、、均为非零实数,则 ，故 ，即，故A正确； 由题意可知 ，故 ，当且仅当，即 时取等号，故B正确； 若，比如a=1，b=-1，则不成立，故C错误； 若，，则若，，故，