专题15 等式性质与不等式性质-2022年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题15 等式性质与不等式性质 【知识点梳理】 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③. 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立. 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据. 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： (1)对称性： (2)传递性： (3)可加性：(c∈R) (4)可乘性：a>b， 运算性质有： (1)可加法则： (2)可乘法则： (3)可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小. ①； ②； ③. 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小. ①； ②； ③. 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 【题型归纳目录】 题型一：用不等式(组)表示不等关系 题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 题型四：利用不等式的性质证明不等式 题型五：利用不等式的性质比较大小 题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【典型例题】 题型一：用不等式(组)表示不等关系 1．（2022·江苏·高一）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（     ） A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M 【答案】A 【解析】 【分析】 根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式. 【详解】 长、宽、高之和不超过Mcm， . 故选：A. 2．（2022·天津河北·高一期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（       ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据长、宽、高的和不超过可直接得到关系式. 【详解】 长、宽、高之和不超过，. 故选：. 3．（2022·贵州毕节·高一阶段练习）某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用题设条件即得. 【详解】 数学成绩不低于100分表示为，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分表示为，即. 故选：D. 4．（2022·全国·高一课时练习）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元､70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（       ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，，，考虑，， ， 四种情况，计算得到答案. 【详解】 设软件片，磁盘盒，，则，，. 当 时，满足条件；当时， 满足条件； 当 时，满足条件；当 时，满足条件； 故共有7种方案. 故选：C. 5．（2022·江苏淮安·高一期中）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由不等关系求解即可. 【详解】 经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即 故选：D 6．（2022·河南·范县第一中学高一阶段练习）完成一项装修工程，请木工每人需付工资800元，请瓦工每人需付工资700元，现工人工资预算为20000元，设请木工人，瓦工人，则，满足的关系式是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据给定条件直接列出不等式即可判断作答. 【详解】 因请木工每人需付工资800元，木工人，则需付木工工资元， 因请瓦工每人需付工资700元，瓦工人，则需付