专题17 二次函数与一元二次方程、不等式-2022年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题17 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识点梳理】 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点二　二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 知识点三　一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 知识点五　利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 知识点六 一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 知识点七 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 【题型归纳目录】 题型一：解不含参数的一元二次不等式 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 题型四：一次分式不等式的解法 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 题型六：不等式的恒成立问题 【典型例题】 题型一：解不含参数的一元二次不等式 1．（2022·新疆喀什·高一期末）“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式的解法可得或，结合充分不必要条件的定义即可得出结果. 【详解】 由题意知， ，解得或， 又或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（2022·浙江·高一阶段练习）不等式的解集是（       ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接解一元二次不等式即可得答案. 【详解】 解：原式化为，即，故不等式的解集为. 故选:D 3．（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）不等式的解集为（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】 【分析】 将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集； 【详解】 解：依题意可得，故，解得或， 所以不等式的解集为或 故选：B． 4．（2022·湖南·高一课时练习）下面四个不等式中解集为空集的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 求出各选项中不等式的解，可得出合适的选项. 【详解】 对于A选项，解不等式得，A不满足条件； 对于B选项，由得，该不等式的解集为，B不满足条件； 对于C选项，由可得，解得或，C不满足条件； 对于D选项，因为，故不等式的解集为空集，D满足条件. 故选：D. 5．（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2) 【解析】 (1) (1)因为， 所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3. 所以原不等式的解集为或. (2) (2)因为， 所以方程 有两个相等实根x1＝x2＝ 所以原不等式的解集为. 6．（2022·湖南·高一课时练习）解下列一元二次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)或 【解析】 【分析】 依据二次不等式解法程序去求解即可. (1) 二次方程有二重根， 则不等式的解集为 (2) 二次方程有二根， 则不等式的解集为 (3) 不等式可化为 由可知，二次方程无根， 则不等式的解集为 故不等式的解集为 (4) 不等式可化为 二次方程有二根， 则不等式的解集为 故不等式的解集为 (5) 不等式可化为 二次方程有二根， 则不等式的解集为 故不等式的解集为 (6) 不等式可化为 二次方程有二根， 则不等式的解集为或 故不等式的解集为或 7．（2022·湖南·高一课时练习）解下列不等式：