【创新设计】2013-2014学年高中数学（湘教版）必修2（备课资源）第4章 向量（配套课件+活页训练+章末质量评估，20份）

课前探究学习 课堂讲练互动 掌握利用向量的数量积的性质，求长度和角度，判断两向量是否垂直，了解其几何意义． 4.5.2 利用数量积计算长度和角度 课前探究学习 课堂讲练互动 向量的数量积的性质 (1)如果b是单位向量，则a·b＝b·a＝______________；(a≠0，b≠0) (2)a⊥b ⇒______且a·b＝0⇒____(a≠0，b≠0)； (3)a·a＝___或|a|＝______. 自学导引 |a||b|cos〈a，b〉 a·b＝0 a⊥b |a|2 课前探究学习 课堂讲练互动 (4)cos〈a，b〉＝ ＝ . (5)|a·b|__|a||b|. (6)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (7)(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2. (8)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. ≤ 课前探究学习 课堂讲练互动 已知|a|＝|b|＝2，〈a，b〉＝80°，试求向量a－b与b的夹角大小． 自主探究 由于|a|＝|b|＝2， 所以△ABC为等腰三角形 由于〈a，b〉＝80°， 即∠BAC＝80°，所以∠ABC＝∠ACB＝50°， 平移向量b，使其起点与a－b的起点重合，则∠ACB的补角为a－b与b的夹角；易求得〈a－b，b〉的大小为130°. 提示　如图，作＝a，＝b，并使∠BAC＝80°.则＝a－b. 课前探究学习 课堂讲练互动 已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 (　　)． 预习测评 1． 答案　B 下列等式中，其中正确的有 (　　)． ①|a|2＝a2　② ③(a·b)2＝a2·b2 ④(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2． A. B. C. D. ＝ 课前探究学习 课堂讲练互动 答案　B 解析　①|a|2＝a2是向量数量积的性质，在求模计算中常用； ②＝＝cos θ≠； ③(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2cos2θ≠a2·b2； ④(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b·a＋b2 ＝a2＋2a·b＋b2. 课前探究学习 课堂讲练互动 若|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝ (　　)． 答案　B 已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b| ＝________. 答案　7 3． 4． A. B．± C．± D．± 课前探究学习 课堂讲练互动 向量数量积的性质及作用 设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ. (1)a⊥b ⇔a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系． (2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|，当a与b反向时，a·b＝ －|a||b|，即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线． 名师点睛 课前探究学习 课堂讲练互动 (3)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． (4)cos θ＝，此性质可求a与b的夹角或直线的夹角或利用夹角取值情况，建立方程或不等式用于求参数的值或范围． 课前探究学习 课堂讲练互动 已知向量a，b满足|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，求|a－b|. 解　由已知：|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24， ∴(a＋b)2＝242. a2＋2a·b＋b2＝242，2a·b＝242－132－192＝46. 又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132－46＋192＝484， 题型一　向量模的运算 【例1】 典例剖析 ∴|a－b|＝ ＝ ＝22. 课前探究学习 课堂讲练互动 点评　利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝ . (2)|a±b|＝ ＝ . 课前探究学习 课堂讲练互动 向量a与b的夹角为 ，|a|＝2，|b|＝1，求|a＋b|·|a－b|的值． 1． 解　|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝4＋2×2×1×cos ＋1＝7. ∴|a＋b|＝ ，同理：|a－b|2＝3， |a－b|＝ ， ∴|a＋b|·|a－b|＝ . 课前探究学习 课堂讲练互动 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． 题型二　向量夹角的运算 【例2】 解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°， ∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝. |a|＝|2m＋n|＝ ＝