专题05 三角形全等-2021-2022学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

专题05 三角形全等 知识串讲 · 知识点1 全等图形 1. 全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 3.三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． 4.对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角 · 知识点2 全等三角形性质 1.全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 说明：（1）全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等    （2）全等三角形的周长相等，面积相等    （3）平移、翻折、旋转前后的图形全等 · 知识点3 全等三角形判定 1.判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等． 2.判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． 3.判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． 4.判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 5.判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 一．解答题（共17小题） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝DE，AC＝CD． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD＝DE，AC＝CD， ∴∠AED＝∠DAE＝∠ADC， ∴∠C+∠2＝∠B+∠1， ∴∠1＝∠2， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （2）解：∵△ABD≌△DCE， ∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3， ∵AC＝AB＝5， ∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2． 2．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠2＝30°， ∵∠1＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°． 3．如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE． （1）求证：AD＝CE； （2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE， ∴∠ABD＝∠CBE． 在△ADB和△CEB中， ， ∴△ADB≌△CEB（SAS）， ∴AD＝CE； （2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣30°）＝75°， ∵∠AFC＝45°， ∴∠BCE＝∠AFC﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°， ∵△ADB≌△CEB， ∴∠BAD＝∠BCE＝15°， ∴∠EAC＝∠BAD+∠BAC＝15°+75°＝90°． 4．如图，AB＝AC，直线l经过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、N，BM＝AN． （1）求证：MN＝BM+CN； （2）求证：∠BAC＝90°． 【解答】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l， ∴∠AMB＝∠CNA＝90°， 在Rt△AMB和Rt△CNA中， ， ∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）， ∴BM＝AN，CN＝AM， ∴MN＝AM+AN＝BM+CN； （2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA， ∴∠BAM＝∠ACN， ∵∠CAN+∠ACN＝90°， ∴∠CAN+∠BAM＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°． 5．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求证：BD＝CE． 【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC． 即∠BAD＝∠CAE． 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD＝CE． 6．同学们，等边三角形、等腰直角三角形都是最常见的几何图形． （1）如图1，以等边△ABC的边BC为腰作等腰直角△BCD，其中∠DBC＝90°，BD＝CB，点D，点A都在BC同侧，延长BD、CA交于点M、连接AD，求∠MAD的度数． （2）如图2，在（1）的条件下，作BN平分∠DBC交AC于点N，求证：MD＝CN； （3）如图3，将图（1）的△CBD沿着BC翻折得到△CBD1，连接AD1，P为AD1中点，连接BP并延长交CD1于点Q、请猜测CQ、BP、