第04讲 一元二次不等式及简单不等式-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第04讲 一元二次不等式及简单不等式 【基础知识全通关】 1、 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实数根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法 （1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ （2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 3、．简单分式不等式 (1)≥0⇔ (2)>0⇔f(x)g(x)>0 【考点研习一点通】 考点1　不含参的不等式 1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B等于(　　) A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3} 【答案】　D 【解析】　∵A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－1<x<4}，B＝{－4,1,3,5}， ∴A∩B＝{1,3}． (2)不等式≥0的解集为(　　) A．[－2,1] B．(－2,1] C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2]∪(1，＋∞) 【答案】　B 【解析】　原不等式化为 即 解得－2<x≤1. 考点2　含参不等式 例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)． 【解析】解　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0， 因为a>0，所以(x－1)<0. 所以当a>1时，解得<x<1； 当a＝1时，解集为∅； 当0<a<1时，解得1<x<. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. 【变式拓展】在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式． 【解析】解　当a>0时，同例2， 当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1， 当a<0时，<1，原不等式可化为(x－1)>0， 解得x>1或x<. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为， 当a＝1时，不等式的解集为∅， 当a>1时，不等式的解集为， 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}， 当a<0时，不等式的解集为. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 【变式】 (1)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________． 【答案】　{x|x≥3或x≤2} 【解析】　由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0， 所以解得 故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0， 解得x≥3或x≤2. (2)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)． 【解析】解　原不等式可化为12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－，x2＝. 当a>0时，不等式的解集为∪； 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a<0时，不等式的解集为∪. 考点1　在R上的恒成立问题 例3 对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－2,2) D．(－2,2] 【答案】　D 【解析】　当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立； 当a－2≠0，即a≠2时， 则有 解得－2<a<2. 综上，实数a的取值范围是(－2,2]． 考点3　在给定区间上的恒成立问题 例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________． 【答案】　 【解析】　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立， 即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法： 方法一　令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增， 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0， 所以m<，所以0<m<； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0， 所以m<6，所以m<0. 综上所述，m