第03讲 不等式及性质-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第03讲 不等式及性质 【基础知识网络图】 基本不等式 重要不等式 最大（小）值问题 基本不等式 基本不等式的应用 扩充不等式 绝对值不等式 柯西不等式 【基础知识全通关】 知识点01：两个重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）. 【要点诠释】 和两者的异同： （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。 （3）可以变形为：，可以变形为：. 3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 【要点诠释】 1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 知识点02：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 知识点03：几个常见的不等式 1），当且仅当a=b时取“=”号。 2），当且仅当a=b 时取“=”号。 3）；特别地：； 4） 5）； 6）； 7） 知识点04：绝对值不等式的性质 1.； 2.； 知识点05：柯西不等式 1. 二维形式的柯西不等式： （1）向量形式： 设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立。 （2）代数形式： ①若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立； ②若a、b、c、d都是正实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立； ③若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立； 【要点诠释】 柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示； （3）三角形式： 设，则。 2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）： 若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。 3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）： 若都是实数，则 ， 当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。 【拓展】 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (a，b∈R) (2)作商法 (a∈R，b>0) 2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) a，b同为正数 微思考 1．两个正数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？ 提示　如果a>b>0，则>. 2．非零实数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？ 提示　如果ab>0且a>b，则<. 如果a>0>b，则>. 【考点研习一点通】 考点01：基本不等式求最值问题 1．设，则的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 当且仅当即时取等号. 【答案】D 【变式1】已知, 且，求的最小值及相应的值. 【解析】∵, ∴, 又, ∴ 当且仅当即时取等号 ∴ 当时，取最小值. 【变式2】求下列函数的最大（或最小）值. （1） ； （2） (2)， ； (3) ， (4) ， ； (5)， 【解析】（1）∵ ，∴，∴ 当且仅当，即时取等号 ∴时， (2) ∵，∴ 当且仅当即时，. (3) ∵，∴ ∴ 当且仅当即时，. (4) ∵，∴∴ 当且仅当 即时，. (5) ∵，∴ ∴ 当且仅当即时， 【变式3】已知且，求的最小值. 【解析】方法一：且 ∴（当且仅当即时等号成立）. ∴的最小值是16. 方法二：由，得， ∵，∴ ∴ 当且仅当即时取等号，此时 ∴的最小值是16. 方法三：由得，∴ ∴ 当且仅当时取等号， ∴的最小值是16. 考点02：利用基本不等式证明不等式 2.已知，，，求证：，，中至少有一个小于等于. 证明：假设 则有 〔＊〕 又∵ 与〔＊〕矛盾 【变式1】已知、、都是正数，求证： 【解析】 ∵、、都是