2.2 基本不等式-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 【知识点梳理】 知识点一：基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：. 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点诠释： 1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 知识点诠释： 1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数. 2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值. 4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值. 5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案. 【题型归纳目录】 题型一：对基本不等式的理解及简单应用 题型二：利用基本不等式比较大小 题型三：利用基本不等式证明不等式 题型四：利用基本不等式求最值 1.直接法求最值 2.常规凑配法求最值 3.消参法求最值 4.换元求最值 5.“1”的代换求最值 6.法 7.条件等式求最值 题型五：利用基本不等式求解恒成立问题 题型六：基本不等式在实际问题中的应用 【典型例题】 题型一：对基本不等式的理解及简单应用 例1．（2022·全国·高一课时练习）若且，则下列不等式中恒成立的是（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据基本不等式判断，错误的不等式可举反例． 【详解】 当时，，A错； 时，满足，但，B错； 时，满足，，C错． ，则，，当且仅当时等号成立．D正确． 故选：D． 例2．（2022·河南开封·高一阶段练习）若两个正数、满足，则下列各式中恒成立的是（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 令，可判断A；由不等式的性质以及基本不等式可判断B；取可判断C；利用不等式的性质判断D，进而可得正确选项. 【详解】 对于A：令，满足，则，故选项A不正确； 对于B：因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立，故选项B正确； 对于C：令满足，则，故选项C不正确； 对于D：由可得，故选项D不正确； 故选：B. 例3．（2022·河北·沧州市一中高一阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能