2.1 等式性质与不等式性质-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式性质与不等式性质 【知识点梳理】 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③. 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立. 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据. 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： (1)对称性： (2)传递性： (3)可加性：(c∈R) (4)可乘性：a>b， 运算性质有： (1)可加法则： (2)可乘法则： (3)可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小. ①； ②； ③. 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小. ①； ②； ③. 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 【题型归纳目录】 题型一：用不等式(组)表示不等关系 题型二：作差法比较两数(式)的大小 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 题型四：利用不等式的性质证明不等式 题型五：利用不等式的性质比较大小 题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【典型例题】 题型一：用不等式(组)表示不等关系 例1．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（     ） A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M 【答案】A 【解析】 【分析】 根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式. 【详解】 长、宽、高之和不超过Mcm， . 故选：A. 例2．（2022·贵州毕节·高一阶段练习）某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用题设条件即得. 【详解】 数学成绩不低于100分表示为，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分表示为，即. 故选：D. 例3．（2022·江苏淮安·高一期中）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由不等关系求解即可. 【详解】 经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即 故选：D 例4．（2022·全国·高一课时练习）请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）． 【答案】 【解析】 【分析】 克糖水中有克糖，若再添克糖，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得． 【详解】 克糖水中有克糖， 糖水的浓度为：； 克糖水中有克糖，若再添克糖， 则糖水的浓度为， 又糖水变甜了，说明浓度变大了， ，，，，. 故答案为：， 例5．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________. 【答案】          【解析】 【分析】 设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，可得出，当时，讨论的取值，结合不等式的性质可求得的最小值；当的值未知时，讨论的取