专题02 乘法公式-【初升高】走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

专题02：乘法公式 主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式 公式一、平方差公式 公式二、完全平方公式 在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下： 1. 2. 3. 4. 5. 公式三、立方和公式 公式四、立方差公式 公式五、三数和平方公式 公式六、两数和立方公式 公式七、两数差立方公式 例1、计算 例2、计算 例3、已知a、b是方程的两个根，求： （1）；（2）；（3）；（4） 【解答】（1）77；（2）；（3）112；（4）24 【解析】∵a、b是方程的两个根，∴a+b=7，ab＝11. （1）； （2）； （3）； 巩固练习 一. 选择题 1． 下列式子计算正确的是（　　） A．m3•m2＝m6 B．（﹣m）﹣2＝ C．m2+m2＝2m2 D．（m+n）2＝m2+n2 2． 如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（　　） A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2 C．（m﹣n）2＝m2+n2 D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n） 3． 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．b（a﹣b）＝ab﹣b2 D．ab﹣b2＝b（a﹣b） 4． 如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　） A．b＝5a B．b＝4a C．b＝3a D．b＝a 5． 已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（　　） A．12 B．20 C．28 D．36 6．定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是（　　） A．4 B．﹣1或4 C．0或4 D．1或4 二．填空题 7．已知（a+b）2＝7，a2+b2＝5，则ab的值为　 　． 8．我们规定一种运算：，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2，．按照这种运算规定，当x＝　 　时，＝0． 9．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为Sn，则S2020﹣S2019的值为 　． 10．如果，那么a+2b﹣3c＝　 　． 11．如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图②所示的梯形．观察图①、图②中阴影部分的面积，请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式 　 　． 12．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如： （a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； （a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； … 根据以上规律，解答下列问题： （1）（a+b）4展开式共有　 　项，系数分别为　 　； （2）（a+b）n展开式共有　 　项，系数和为　 　． 三．解答题 13．已知x+y＝﹣6，xy＝5，求下列代数式的值： （1）x+y（1﹣x）； （2）x2+y2． 14．已知A＝2x+3，B＝x﹣2．化简A2﹣AB﹣2B2，并求当x＝时该代数式的值． 15．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2]÷y，其中x＝﹣1，y＝﹣2． 16. 已知，求的值. 17. （1）若，，求的值； （2）若，求的值. 18. 已知三角形的三条边分别是a、b、c，且满足等式，试确定三角形的形状. 19．乘法公式的探究及应用： （1）如图1所示，阴影部分的面积是　 　（写成平方差的形式） （2）若将图1中的阴影部分剪下来