专题01 绝对值-【初升高】走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

专题01：绝对值 1、绝对值的定义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． ①绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： ②绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． ③一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2、绝对值的性质 ①0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． ②互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. ③绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 3、数轴上两点之间的距离 若A、B是数轴上的两个点，它们表示的数分别为x1、x2，则A、B两点之间的距离为. 4、含绝对值的方程与函数 ①含有绝对值的方程要先去掉绝对值的符号，再求未知数的值； ②绝对值函数的定义：，绝对值函数的定义域是一切实数，值域是非负数. 例1、利用绝对值的性质化简 如果a、b、c、d为互不相等的有理数，且，那么等于 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解答】C 【解析】由已知可得，不妨设， ∵，∴a－c与b－c互为相反数，即a－c＝－（b－c），a＋b＝2c， 又∵，∴， ∵，∴b－c与d－b相等，即b－c＝d－b，2b＝c＋d， ∵，∴，∴，∴， 同理，若设，可得，∴C选项正确. 例2、化简求最值 已知实数x、y、z满足，则代数式的最大值是 . 【解答】24 【解析】∵当时，， 当时，， 当时，， 故的最小值为4， 同理可得，当时，最小值为3； 当时，最小值为9，则4×3×9＝108， 故x、y取最大值，z取最小值时，代数式的值最大，最大值为. 例3、绝对值方程 解方程： 【解答】 【解析】计算步骤如下： ∴. 例4、绝对值函数 作出函数的图像. 【解答】见解析 【解析】由题意可得，函数图像如图所示： 巩固练习 一．选择题 1． 把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．5 D．11 【解答】A 【解析】第1次操作，a1＝|23+4|﹣10＝17； 第2次操作，a2＝|17+4|﹣10＝11； 第3次操作，a3＝|11+4|﹣10＝5； 第4次操作，a4＝|5+4|﹣10＝﹣1； 第5次操作，a5＝|﹣1+4|﹣10＝﹣7； 第6次操作，a6＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7； 第7次操作，a7＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7； … 第2020次操作，a2020＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7． 2． 设x为有理数，若|x|＝x，则（　　） A．x为正数 B．x为负数 C．x为非正数 D．x为非负数 【解答】D 【解析】设x为有理数，若|x|＝x，则x≥0，即x为非负数． 3． 已知x是正实数，则|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|的最小值是（　　） A．2 B． C． D．0 【解答】B 【解析】|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1| ＝|x﹣1|+2|x﹣|+3|x﹣|+4|x﹣|+5|x﹣| 当x﹣＝0，即x＝时取最小值， 最小值为：|﹣1|+2|﹣|+3|﹣|+4|﹣|+5|﹣| ＝+++0+ ＝． 4． 已知实数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＜0，，则x2019的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．32019 D．﹣32019 【解答】B 【解析】已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0， 则b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a、b、c两正一负， 则＝1﹣1﹣1＝﹣1． 5． 能使等式|2x﹣3|+2|x﹣2|＝1成立的x的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】C 【解析】A、当x＝0时，原式＝3+4＝7，不合题意； B、当x＝1时，原式＝1+2＝3，不合题意； C、当x＝2时，原式＝1+0＝1，符合题意； D、当x＝3时，原式＝3+2＝5，不合题意； 6． 已知x，y都是整数，若x，y的积等于8，且x﹣y是负数，则|x+y|的值有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】B 【解析】∵x，y都是整数，x，y的积等于8，且x﹣y是负数， ∴x＝﹣8，y＝﹣1或x＝﹣4，y＝﹣2或x＝1，y＝8或x＝2，y＝4， ∴|x+y|＝9或6，一共2个． 7．定义：平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x