最值问题-2020-2021学年四川省成都市八年级下学期期末复习

八年级下期末复习——最值问题 1．（2020-2021成都十八中八年级（下）期末·25）（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AD，DC边上的动点，且EF＝4，点G为EF的中点，点P为BC上的一动点，则PA+PG的最小值为 　8　． 【分析】因为EF＝4，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG＝2，所以G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；根据勾股定理求得A′D＝10，即可求得A′G＝A′D﹣DG＝10﹣2＝8，从而得出PA+PG的最小值． 【解答】解：∵EF＝4，点G为EF的中点， ∴DG＝2， ∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点， 作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G， 此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长； ∵AB＝4，AD＝6， ∴AA′＝8， ∴A′D＝＝10， ∴A′G＝A′D﹣DG＝10﹣2＝8， ∴PA+PG的最小值为8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，判断出G点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 2．（2020-2021成都实验外国语八年级（下）期末·25）（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点M为边BC的中点，P是直线AD上的一个动点，以MP为边在MP右侧作Rt△MPQ，且PM＝PQ，连结AM，AQ，则△AMQ周长的最小值为 　　． 【分析】因为△AMQ的周长为AM+AQ+MQ，其中AM的长可以由直角△ABM中利用勾股定理求得，为定值，所以只需要求得AQ+MQ的最小值即可，由题意可得，点A，M为定点，Q为动点，即“一动两定”问题，只需要找到动点Q的运动轨迹即可，过A作AM⊥AN，使AN＝AM，先证△MAN∽△MPQ，再证△MAP∽△MNQ，得到∠MAP＝∠MNQ，延长NQ交直线AD于H，可以得到∠NHO＝45°，则Q点在经过N点，且与直线AD夹角为45°的直线NH上运动，此题就变成了“在直线NH上找一点Q，使AQ+QM最小“的将军饮马问题，所以过A作关于NH的对称点K，连接KM交NH于Q，AQ+MQ的最小值为MK，利用勾股定理可求出KM的值，即可解决． 【解答】解：如图1，过A做AN⊥AM，使AN＝AM，连接MN，NQ， 则∠AMN＝∠ANM＝45°， ∵△MPQ是直角三角形，且PM＝PQ， ∴∠PMQ＝∠AMN＝45°，∠MAN＝∠MPQ＝90°， ∴△AMN∽△PMQ， ∴＝， ∵∠AMN＝∠PMQ， ∴∠AMP＝∠NMQ， ∴△MAP∽△MNQ， ∴∠MAP＝∠MNQ， 延长MQ交AD于H，设AD与MN交于点O， 则∠AOM+∠AMN＝∠NOH+∠NHO， ∵∠AOM＝∠HOH， ∴∠NHO＝∠AMN＝45°， ∴直线NH与直线AD夹角为45°， ∴Q在经过N点且与直线AD夹角为45°的直线NH上运动， 如图2，过M作ME⊥AD于E，过N作NF⊥AD于F， 则∠AEM＝∠NFA＝90° ∴∠NAF+∠MAE＝∠MAE+∠AME＝90°， ∴∠NAF＝∠AME， 在△AME与△NAF中， ， ∴△AME≌△NAF（AAS）， ∴AE＝NF，EM＝AF， ∵M是BC的中点，BC＝8， ∴BM＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABM＝∠BAD＝∠AEM＝90°， ∴四边形ABME是矩形， ∴NF＝AE＝BM＝4，EM＝AB＝AF＝5， 在直角△NHF中，∠NHF＝45°， ∴∠FNH＝∠NHF＝45°， ∴FH＝NF＝4， ∴AH＝AF+FH＝5+4＝9， 在直角△ABM中，AM＝＝ 如图3，过A作关于直线NH的对称点K，连接KM交直线NH于点Q， 此时NH垂直平分AK， 则AQ＝QK， ∴AQ+QM+AM＝QK+QM+＝MK+为△ABC的周长的最小值， 连接KH并延长交BC于T， 则∠KHN＝∠AHN＝45°，KH＝AH＝9， ∴∠AHK＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠MFK＝∠AHK＝90°， ∵∠MTK＝∠THA＝∠MEH＝90°， ∴四边形EMTH为矩形， ∴MT＝EH＝AH﹣AE＝8﹣4＝5，HT＝EM＝AB＝5， 在直角△MTK中，KT＝KH+HT＝14，MT＝5， ∴MK＝＝， ∴△AMQ的周长最小值为+， 故答案为：+． 【点评】本题考查了最短路径问题，如何将AQ+QM的最小值问题转化为将军饮马问题是解决本题的关键，找到动点Q的运动轨迹是解决本题的突破口． 3．（2020-2021成华区八年级（下）期末·25）（4分）将两个