2.1.1 等式与不等式-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（湘教版）

2.1　相等关系与不等关系 2.1.1　等式与不等式 第2章　一元二次函数、方程和不等式 课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决实际问题． 教学重点：1.不等式的性质.2.不等式性质的应用． 教学难点：用不等式的性质证明不等式． 核心素养：1.借助不等式性质的判断与证明培养逻辑推理素养.2.通过大小比较及利用不等式求范围提升数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE a－b>0 ＝ a<b a－b>0⇔a>b a－b＝0⇔a＝b a－b<0⇔a<b 作差 整理 判断符号 下结论 b±c ＝ b<a a>c a＋c>b＋c ac>bc ac<bc ＞ ＜ ＞ ＞ a＋c＞b＋d ac＞bd ＞ 3．比较大小的方法 比较数(式)的大小常用作差与0比较． 作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用． 4．利用不等式求范围应注意的问题 求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性，同向正值不等式具有可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个实数都能比较大小．(　　) (2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　) (3)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(　　) (4)若ac2>bc2，则a>b.(　　) (5)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) √ √ √ √ × 2．做一做 (1)大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总质量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 (2)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 答案 答案 答案　m≥n 2 核心素养形成 PART TWO 例1　比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x2＋3与3x； (2)设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小． 解 题型一 作差法比较大小 1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较大小的步骤：作差→变形→定号→结论． (2)变形方法：①因式分解；②配方； ③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 2．如果两个实数同号，也可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1. [跟踪训练1]　已知a>0，b>0，试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)， ∴当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 解 题型二 不等式的性质及应用 [答案]　③④ 答案 解析 解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论，也可举出一个反例予以否定． 解 解 解 证明 题型三 利用不等式的性质证明不等式 证明 利用不等式的性质证明不等式的实质及注意点 (1)实质：利用不等式的性质证明不等式的实质就是根据不等式的性质把不等式变形． (2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 证明 例4　已知1<a<4,2<b<8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． [解]　∵1<a<4,2<b<8， ∴2<2a<8,6<3b<24. ∴8<2a＋3b<32. ∵2<b<8，∴－8<－b<－2. 又1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2. 故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7<a－b<2. 解 题型四 利用不等式的性质求取值范围 [条件探究]　若本例的条件变为－3<a<2，－4<b<－3，试求2a＋3b与a－b的取值范围． 解　∵－3<a<2，－4<b<－3， ∴－6<2a<4，－12<3b<－9， ∴－6＋(－1