3.1.3 简单的分段函数-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（湘教版）

3.1　函数 3.1.3　简单的分段函数 第3章　函数的概念与性质 课程标准：通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 教学重点：根据实际情境，选择恰当的函数表示方法解决问题． 教学难点：在实际情境中，构造分段函数并解决问题． 核心素养：1.借助分段函数的概念培养数学抽象素养.2.通过分段函数的求值培养数学运算素养.3.借助函数的实际应用培养数学建模素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 不同的解析式 1．分段函数的特点 (1)分段函数是一个函数，并非几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集． (3)分段函数的值域是各段值域的并集． (4)分段函数的图象要分段来画． 2．应用函数知识解决实际问题的关键是如何根据题意将实际问题转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题． × × × √ × 答案 答案 12 42 2 2 核心素养形成 PART TWO 答案 解析 题型一 分段函数的定义域、值域 [答案]　(－1,1)　(－1,1) [解析]　由已知，定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝{x|－1<x<1}，即(－1,1)．又当0<x<1时，0<－x2＋1<1，当－1<x<0时，－1<x2－1<0，当x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1,0)∪{0}∪(0,1)＝(－1,1)． 答案 解析 1．分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集． (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决． 解析　由已知，得定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R.又x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]. 解析 R [0,1] 题型二 分段函数求值问题 解 解 1．求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 3．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． 解 解 例3　根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数的解析式． [解]　当－3≤x<－1时， 设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 将点(－3,1)，(－1，－2)代入，得 f(x)＝－x－； 当－1≤x<1时，同理，可设f(x)＝cx＋d(c≠0)， 解 题型三 由分段函数的图象求分段函数的解析式 解 已知图象求函数解析式的方法 已知函数的图象求解析式y＝f(x)，当自变量x在不同的区间上变化时，函数f(x)的解析式不同，应分段求解．此时根据图象，结合已学过的基本函数图象，选择相应的解析式，用待定系数法求解．如果函数为分段函数，要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重也不漏． [跟踪训练3]　已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________. 答案 解析 解 题型四 分段函数的图象及其应用 解 [条件探究]　把本例的条件改为“f(x)＝|x|－2(x∈R)”，再求解本例的三个问题． 解 分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 解 解 题型五 分段函数的应用 例5　某市出租车的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9 元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km))． (1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0<x≤60，单位：km)的函数； (2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？ (现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑) 解 分段函数应用问题的两个关注点 (1)应用情境：日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数． (2)注意问题：求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理． [跟踪训练5]　如图，△OAB是边长为4的正三角形，记△OAB位于直线x＝