课后巩固(六)用空间向量研究距离问题（word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

[对应学生用书P96] 1．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　) A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 C　[因为＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，则在上的投影为＝＝－4.又||＝， 所以AC边上的高BD的长为＝5.] 2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为(　　) A．1 B． C． D． C　[以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(1，1，)，F(2，1，)， 所以|FE|＝ ＝.] 3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为(　　) A．a B．a C．a D． A　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a). ∴点A1到BC1的距离＝＝a.] 4．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(　　) A． B． C． D． B　[建立如图所示的坐标系， A1(0，1，0)，B(0，－1，1)，C(，0，1)，A(0，1，1)，＝(0，－2，1)，＝(，－1，1)， 设平面A1BC的一个法向量为a＝(x，y，z)， 取z＝1，则a＝(－，，1)，所以点A到平面A1BC的距离d＝＝＝.] 5．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是(　　) A． B． C． D． D　[如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，M(1，1，)，N(，1，1)，C(0，1，0). 所以＝(－1，0，1)，＝(－，0，). 所以＝．又直线AD1与MN不重合， 所以MN∥AD1.又MN⊄平面ACD1， 所以MN∥平面ACD1. 设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 所以x＝y＝z，令x＝1，则n＝(1，1，1). 又因为＝(1，1，)－(1，0，0)＝(0，1，)，所以点M到平面ACD1的距离d＝＝＝. 故直线MN与平面ACD1间的距离为.] 6．(多选题)如图，在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的取值有(　　) A． B． C．3 D．2 ABCD　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)， 所以＝(－3，－3，3). 因为＝＝(－1，－1，1)， 所以＝＋(－1，－1，1)＝(2，2，1). 所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝＝， |PD|＝|PA1|＝|PC1|＝＝3， |PB|＝，|PD1|＝＝2. 故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，2.] 7．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　) A． B． C． D．1 B　[过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)， 则A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，＝(1，2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z). 解得所以＝(－，，)， 所以点B到直线A1C的距离||＝.] 8．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________. 　[以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1). ＝ ＝.] 9．(多空题)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到A1C1的距离为________， 点D到平面EFD1B1的距离为________. 　　[建立如图所示的空间直角坐标系． 则D1(0，0，0)，A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，B1(1，1，0)，F(0，，1)，E(，1，1). 即△DA1C1为等边三角形， 所以点D到A1C1的距离为三角形的高 ×sin 60°＝. 则可求得平面EFD1B1的一个法向量为n＝(－1，1，－). 又＝(0，0，1)， 故点D到平面EFD1B1的距离为d＝] 10．如图所示